Calcule a constante de equilíbrio para a reação representada pela equação:
2 \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{Cu}^{2+} \leftrightharpoons 2 \mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante de equilíbrio da reação
2\,\mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{Cu}^{2+}\rightleftharpoons 2\,\mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
\text{equação química com estequiometria: }2\,\mathrm{Ag}+ \mathrm{Cu}^{2+}\rightleftharpoons 2\,\mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cu}.çãí
Não foram dadas outras informações numéricas no enunciado (como potenciais), portanto usarei os potenciais padrão de redução conhecidos em tabelas: \mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag} e \mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}. Não inicio a resolução aqui; apenas deixei claro o que é pedido e os dados que vou usar.

Passo 2

Conceito e fórmulas principais que vamos usar (essa é a parte didática):
  • A energia livre padrão de reação \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K estão relacionadas por
\Delta G^\circ = -R T \ln K,
onde R é a constante dos gases ( R em unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}), T é a temperatura em kelvin e K é a constante de equilíbrio adimensional.
  • Para reações redox, a energia livre padrão também se relaciona com a diferença de potencial padrão da pilha E^\circ_{\text{cell}} por
\Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cell}},
onde n é o número de elétrons transferidos na reação e F é a constante de Faraday (carga por mol de elétrons, em \mathrm{C\,mol^{-1}}).
  • Igualando as duas expressões para \Delta G^\circ obtemos a relação que conecta K com E^\circ_{\text{cell}}:
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cell}}}{R T}.
Explicando as variáveis:
  • n: número total de elétrons trocados na reação global (sem unidades).
  • F: 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}} (constante de Faraday).
  • E^\circ_{\text{cell}}: potencial padrão da célula, em volts ( \mathrm{V} = \mathrm{J/C}).
  • R: 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T: temperatura absoluta; se não for informado, usa-se T=298\\ \mathrm{K} (condições padrão).

Passo 3

Identificar os potenciais padrão das semi-reações e qual reage como cátodo/anodo.
As semi-reações de redução padrão (tabeladas) são:
\mathrm{Ag}^{+} + e^- \rightarrow \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})},\quad E^\circ_{\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}} = +0,7996\\ \mathrm{V}
\mathrm{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})},\quad E^\circ_{\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}} = +0,3370\\ \mathrm{V}
Na equação dada, o prata metálico é oxidado a \mathrm{Ag}^{+} (logo o ramo prata está como anodo — é a semi-reação inversa à redução da tabela) e \mathrm{Cu}^{2+} é reduzido a \mathrm{Cu} (cátodo). O potencial padrão da célula é dado por
E^\circ_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ânodo}}.áâ
Aqui E^\circ_{\text{cátodo}} = E^\circ_{\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}} = +0,3370\\ \mathrm{V}á e E^\circ_{\text{ânodo}} = E^\circ_{\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}} = +0,7996\\ \mathrm{V}â. Portanto
E^\circ_{\text{cell}} = 0,3370 - 0,7996 = -0,4626\\ \mathrm{V}.
Observação didática: sinal negativo em E^\circ_{\text{cell}} indica que, sob condições padrão, a reação escrita (como dada) não é espontânea — e isso implicará K\ll 1.

Passo 4

Determinar n, o número de elétrons transferidos na reação global.
Cada átomo de \mathrm{Ag} passa de 0 a +1 (perde 1 elétron). Como a estequiometria é 2\,\mathrm{Ag}, o total de elétrons liberados é 2. O cátion \mathrm{Cu}^{2+} recebe 2 elétrons para virar \mathrm{Cu}. Logo
n = 2.

Passo 5

Substituir na fórmula de \ln K e calcular passo a passo (usando T=298\\ \mathrm{K}):
Valores usados:
n = 2,\quad F = 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}},\quad R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\quad T = 298\\ \mathrm{K},
E^\circ_{\text{cell}} = -0,4626\\ \mathrm{V}.
Calcule o numerador:
n F E^\circ_{\text{cell}} = 2 \times 96485 \times (-0,4626) = -89267{,}9\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calcule o denominador:
R T = 8{,}314 \times 298 = 2477{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Logo
\ln K = \frac{-89267{,}9}{2477{,}6} \approx -36{,}0.

Passo 6

Calcular K a partir de \ln K:
K = e^{\ln K} = e^{-36{,}0} \approx 2{,}3\times 10^{-16}.
Interpretação rápida (didática): como K é extremamente pequeno, o equilíbrio, nas condições padrão, favorece os reagentes (lado esquerdo da equação). Isso está em acordo com o E^\circ_{\text{cell}} negativo.

Resposta

K \approx 2,3\times 10^{-16}

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