Calcule a constante de equilíbrio para a reação representada pela equação:
2 \mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}+3 \mathrm{Cu}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})} \leftrightharpoons 2 \mathrm{Al}^{3+}{ }_{(\mathrm{aq})}+3 \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}

Passo 1

O enunciado dá a reação e pede a constante de equilíbrio:
2\mathrm{Al}_{(\mathrm{s})}+3\mathrm{Cu}^{2+}_{(\mathrm{aq})}\rightleftharpoons 2\mathrm{Al}^{3+}_{(\mathrm{aq})}+3\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{equação estequiométrica: }2\mathrm{Al}+3\mathrm{Cu}^{2+}\rightleftharpoons2\mathrm{Al}^{3+}+3\mathrm{Cu}.çãé
Pergunta: calcular a constante de equilíbrio K para essa reação.

Passo 2

O plano de ataque (sem cálculos ainda): vou usar a relação entre potencial padrão da pilha E^\circ_{\text{cel}} e a constante de equilíbrio K. As duas fórmulas que conectam as grandezas são:
\Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cel}}
e
\Delta G^\circ = -R T \ln K.
Combinando-as obtemos
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.
Aqui eu devo explicar cada símbolo: n é o número total de elétrons trocados na reação balanceada, F é a constante de Faraday (carga por mol de elétrons), E^\circ_{\text{cel}} é o potencial padrão da célula (diferença entre potenciais de redução padrão), R é a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Vou calcular E^\circ_{\text{cel}}, determinar n, e então calcular K a T=298{,}15\\ \mathrm{K} (condições padrão).

Passo 3

Escrevendo as semi-reações de redução e usando potenciais padrão de redução (valores tabelados):
semi-reações de redução padrão:
\mathrm{Cu}^{2+} + 2\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Cu},\quad E^\circ_{\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}} = +0{,}34\\ \mathrm{V}
\mathrm{Al}^{3+} + 3\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Al},\quad E^\circ_{\mathrm{Al}^{3+}/\mathrm{Al}} = -1{,}66\\ \mathrm{V}.
Obs.: esses valores são extraídos da tabela padrão de potenciais de redução (tabela de eletroquímica).

Passo 4

Determinar qual semi-reação é redução (cátodo) e qual será oxidação (ânodo) na reação global: a semi-reação com potencial de redução mais positivo tende a ocorrer como redução (cátodo). Aqui E^\circ_{\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}}=+0{,}34\\ \mathrm{V} é maior que E^\circ_{\mathrm{Al}^{3+}/\mathrm{Al}}=-1{,}66\\ \mathrm{V}, logo:
  • cátodo (redução): \mathrm{Cu}^{2+} + 2\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Cu},
  • ânodo (oxidação): a redução escrita para o alumínio ( \mathrm{Al}^{3+} + 3\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Al}) ocorrerá na direção inversa, ou seja a oxidação \mathrm{Al} \rightarrow \mathrm{Al}^{3+} + 3\mathrm{e}^-.

Passo 5

Calcular o potencial padrão da célula pela fórmula
E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ânodo (redução)}}.áâçã
Substituindo os valores:
E^\circ_{\text{cel}} = 0{,}34\\ \mathrm{V} - (-1{,}66\\ \mathrm{V}) = 2{,}00\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Determinar o número total de elétrons n transferidos na reação global balanceada. Olhando para as semi-reações:
\mathrm{Al}\rightarrow \mathrm{Al}^{3+}+3\mathrm{e}^-\quad(\text{cada Al perde }3\text{ e}^-)
\mathrm{Cu}^{2+}+2\mathrm{e}^-\rightarrow \mathrm{Cu}\quad(\text{cada Cu}^{2+}\text{ ganha }2\text{ e}^-)
Para combinar sem fracções usamos 2 mols de Al (2×3e^- = 6 e^-) e 3 mols de \mathrm{Cu}^{2+} (3×2e^- = 6 e^-). Logo
n = 6.

Passo 7

Agora uso \Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cel}}. Explico constantes e valores usados:
F = 96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}}\quad(\text{constante de Faraday}),
n = 6,\quad E^\circ_{\text{cel}} = 2{,}00\\ \mathrm{V}.
Calculando \Delta G^\circ:
\Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cel}} = -6 \times 96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}} \times 2{,}00\\ \mathrm{V}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{V}\cdot\mathrm{C}=1\\ \mathrm{J}, temos
\Delta G^\circ = -1\,157\,820\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = -1{,}157{,}82\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 8

Relacionando com a constante de equilíbrio:
\Delta G^\circ = -R T \ln K \quad\Longrightarrow\quad \ln K = -\frac{\Delta G^\circ}{R T} = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.
Valores das constantes (condições padrão T=298{,}15\\ \mathrm{K}):
R = 8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},\quad T = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Substituindo:
\ln K = \frac{6 \times 96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}} \times 2{,}00\\ \mathrm{V}}{8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} \times 298{,}15\\ \mathrm{K}}.

Passo 9

Fazendo as contas em ordem (mostrando passos para poder fazer sem calculadora aproximando):
Produto no numerador:
6\times 96485 \times 2{,}00 = 1\,157\,820.
Produto no denominador:
8{,}3145\times 298{,}15 \approx 2478{,}96.
Dividindo:
\ln K \approx \frac{1\,157\,820}{2478{,}96} \approx 467{,}07.
Transformando para base 10 (útil para escrever K em forma de potência de 10):
\log_{10}K = \frac{\ln K}{\ln 10} \approx \frac{467{,}07}{2{,}302585} \approx 202{,}86.
Portanto
K \approx 10^{202{,}86}.
Escrevendo com coeficiente entre 1 e 10:
10^{0{,}86}\approx 7{,}2 \quad\Longrightarrow\quad K \approx 7{,}2\times 10^{202}.

Passo 10

Interpretação curta: K é extremamente grande, o que indica que, em condições padrão, a reação favorece praticamente completamente os produtos (oxidação do alumínio e redução do cobre). Isso bate com a forte tendência do alumínio a oxidar (potencial muito negativo como redução).

Resposta

K \approx 7{,}2\times 10^{202}

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