Calcule a constante de equilíbrio para a reação representada pela equação:
\mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})}+2 \mathrm{Ag}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})} \leftrightharpoons \mathrm{Pb}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}+2 \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante de equilíbrio da reação
\mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})}+2\,\mathrm{Ag}^{+}_{(\mathrm{aq})}\rightleftharpoons \mathrm{Pb}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+2\,\mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A equação química e estequiometria da reação (um mol de \mathrm{Pb} reage com dois mols de \mathrm{Ag}^+).
    Informações implícitas que usarei (padrão para questões deste tipo):
  • Vou calcular a constante de equilíbrio termodinâmica K à temperatura ambiente T=298{,}15\\ \mathrm{K} (25 °C), usando potenciais padrão de redução e relações termodinâmicas padrão.

Passo 2

Vamos separar a reação em semirreações de oxirredução (meio passo) e identificar quais são redução e oxidação.
Semirreações de redução padrão (escritas como redução):
\mathrm{Ag}^{+} + e^{-} \longrightarrow \mathrm{Ag}\quad\text{(redução do prata)}çã
\mathrm{Pb}^{2+} + 2e^{-} \longrightarrow \mathrm{Pb}\quad\text{(redução do chumbo)}çã
Na reação global dada, o \mathrm{Ag}^+ é reduzido a \mathrm{Ag} (portanto funciona como cátodo/redução) e o \mathrm{Pb} metálico é oxidado a \mathrm{Pb}^{2+} (portanto anodo/oxidação). O número de elétrons transferidos por ocorrência da reação global é n=2 (porque a semirreação do chumbo envolve 2 elétrons).

Passo 3

Precisamos dos potenciais padrão de redução (valores tabulados a 25 °C). Vou usar os valores padrão usuais:
E^\circ(\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}) = +0{,}7996\\ \mathrm{V}
E^\circ(\mathrm{Pb}^{2+}/\mathrm{Pb}) = -0{,}126\\ \mathrm{V}
Explicação rápida do que é E^\circ: é o potencial padrão de redução da semi-reaç~ao quando todas as espécies aquosas estão na atividade unidade (concentração aproximada 1 mol·L^{-1}) e a pressão de gases é 1 atm. Numa célula eletroquímica, o potencial padrão de célula é dado por
E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ânodo}},áâ
onde tomamos os potenciais como valores de redução. Aqui o cátodo é a redução de \mathrm{Ag}^+ e o ânodo é a redução do \mathrm{Pb}^{2+} (mas como o chumbo está sendo oxidado, subtrai-se seu potencial de redução).

Passo 4

Calculemos o potencial padrão da célula:
E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ(\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}) - E^\circ(\mathrm{Pb}^{2+}/\mathrm{Pb}) = 0{,}7996 - (-0{,}126) = 0{,}9256\\ \mathrm{V}.
Explicação: somamos porque o potencial de redução do chumbo é negativo; assim o processo global tem E^\circ_{\text{cel}}>0, indicando reação espontânea em sentido direto sob condições padrão.

Passo 5

Relação entre energia livre padrão, potencial de célula e constante de equilíbrio:
\Delta G^\circ = -n F E^\circ_{\text{cel}}
e
\Delta G^\circ = -R T \ln K,
onde
  • n é o número de elétrons trocados (aqui n=2),
  • F é a constante de Faraday ( F=96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ( R=8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (aqui T=298{,}15\\ \mathrm{K}),
  • K é a constante de equilíbrio que queremos.
    Igualando as expressões para \Delta G^\circ e isolando \ln K obtemos a forma prática:
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.

Passo 6

Substituímos os números e calculamos passo a passo.
Calcule o numerador n F E^\circ_{\text{cel}}:
n F E^\circ_{\text{cel}} = 2 \times 96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}} \times 0{,}9256\\ \mathrm{V}.
Lembrete: 1\\ \mathrm{V}=1\\ \mathrm{J\cdot C^{-1}}, então as unidades resultam em \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Fazendo a conta:
96485\times 0{,}9256 \approx 89\,306{,}516\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}
2\times 89\,306{,}516 \approx 178\,613{,}032\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Calcule o denominador R T:
R T = 8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} \times 298{,}15\\ \mathrm{K} \approx 2\,478{,}97\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Agora \ln K:
\ln K = \frac{178\,613{,}032}{2\,478{,}97} \approx 72{,}05.

Passo 7

Passamos de \ln K para K:
\log_{10}K = \frac{\ln K}{\ln 10} = \frac{72{,}05}{2{,}302585\ldots} \approx 31{,}31.
Portanto
K \approx 10^{31{,}31} \approx 2{,}0\times 10^{31}.
Interpretação rápida: K é imenso, o que significa que, sob condições padrão, a reação vai praticamente até a direita (formando \mathrm{Pb}^{2+} e \mathrm{Ag} metálico).

Resposta

K \approx 2{,}0\times 10^{31}

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