Calcule as constantes
e
de modo que:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as constantes
e
tais que
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios com denominador
. - O limite quando
dessa razão deve ser igual a .
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): se
existe e é finito (aqui vale
), então o numerador
precisa tender a zero quando
; caso contrário, dividir por algo que tende a zero daria infinito ou indefinido. Em outras palavras,
deve ser um fator do numerador. Esse é o mesmo raciocínio de remover uma descontinuidade removível: existe uma função contínua
tal que
e então
Outra forma equivalente (mais avançada) é usar a Regra de L’Hôpital: se tanto numerador quanto denominador vão a zero, o limite é igual ao quociente das derivadas no ponto quando as condições se aplicam.
Passo 3
Aplicando a condição de que o numerador deve anular em
: substitui-se
em
e exige-se que o resultado seja zero:
Isolando
obtemos uma relação entre
e
:
Passo 4
Agora encontramos o quociente
tal que
Como o numerador é um polinômio de grau 2 e o fator é de grau 1, o quociente é um polinômio de grau 1; escrevemos
e expandimos:
Comparando com
temos
Da primeira igualdade
. Substituindo na segunda:
o que confirma a relação do Passo 3. Assim o quociente é
Passo 5
O limite pedido é
, logo
Como esse limite deve ser
, igualamos:
Usando
obtemos
Verificação rápida (opcional): para
e
o numerador fica
, então a razão é
(para
) e o limite quando
é
, como pedido.