Calcule as constantes a e b de modo que:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-a x+b}{x-3}=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as constantes a e b tais que
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-a x+b}{x-3}=5.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios com denominador x-3.
  • O limite quando x\to 3 dessa razão deve ser igual a 5.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): se \displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{N(x)}{x-3} existe e é finito (aqui vale 5), então o numerador N(x) precisa tender a zero quando x\to 3; caso contrário, dividir por algo que tende a zero daria infinito ou indefinido. Em outras palavras, x-3 deve ser um fator do numerador. Esse é o mesmo raciocínio de remover uma descontinuidade removível: existe uma função contínua Q(x) tal que
N(x)=(x-3)Q(x),
e então
\lim_{x\to 3}\frac{N(x)}{x-3}=\lim_{x\to 3}Q(x)=Q(3).
Outra forma equivalente (mais avançada) é usar a Regra de L’Hôpital: se tanto numerador quanto denominador vão a zero, o limite é igual ao quociente das derivadas no ponto quando as condições se aplicam.

Passo 3

Aplicando a condição de que o numerador deve anular em x=3: substitui-se x=3 em x^{2}-a x+b e exige-se que o resultado seja zero:
3^{2}-a\cdot 3+b=0 \quad\Rightarrow\quad 9-3a+b=0.
Isolando b obtemos uma relação entre a e b:
b=3a-9.

Passo 4

Agora encontramos o quociente Q(x) tal que
x^{2}-a x+b=(x-3)Q(x).
Como o numerador é um polinômio de grau 2 e o fator é de grau 1, o quociente é um polinômio de grau 1; escrevemos Q(x)=x+c e expandimos:
(x-3)(x+c)=x^{2}+(c-3)x-3c.
Comparando com x^{2}-a x+b temos
c-3=-a \quad\text{e}\quad -3c=b.
Da primeira igualdade c=3-a. Substituindo na segunda:
b=-3c=-3(3-a)=3a-9,
o que confirma a relação do Passo 3. Assim o quociente é
Q(x)=x+c=x+(3-a).

Passo 5

O limite pedido é Q(3), logo
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-a x+b}{x-3}=Q(3)=3+(3-a)=6-a.
Como esse limite deve ser 5, igualamos:
6-a=5\quad\Rightarrow\quad a=1.
Usando b=3a-9 obtemos
b=3\cdot 1-9=-6.
Verificação rápida (opcional): para a=1 e b=-6 o numerador fica x^{2}-x-6=(x-3)(x+2), então a razão é \dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2 (para x\neq3) e o limite quando x\to3 é 3+2=5, como pedido.

Resposta

a=1
b=-6

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