Calcule os seguintes limites (do tipo
envolvendo conjugado de radicais):
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a estudar é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador fica e o denominador fica .
Portanto trata-se de uma forma indeterminada do tipo. A tarefa é eliminar essa indeterminação e calcular o valor do limite.
Passo 2
Estratégia: como temos radicais tanto no numerador quanto no denominador, uma técnica clássica é racionalizar (usar conjugado) para eliminar raízes. Lembrete rápido sobre conjugado:
- Se
e são expressões, o conjugado de é . - Produto do conjugado dá diferença de quadrados:
Isso é útil porque ao multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador) podemos transformar radicais em expressões polinomiais mais simples. Vamos aplicar isso aqui: multiplicar por
.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Usando a identidade da diferença de quadrados no numerador:
Logo a expressão fica
Passo 4
Agora observe que
pode ser fatorado em termos de
:
Substituindo
na expressão:
Passo 5
Como estamos calculando um limite para
, podemos cancelar o fator comum
para
(isso é legítimo porque o limite depende do comportamento próximo de
, não do valor exatamente em
). Após o cancelamento obtemos a função simplificada:
Agora essa nova expressão é contínua em torno de
, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 6
Avaliação direta em
:
-
, -
, -
.
Substituindo:
Portanto o limite existe e vale
.