Calcule os seguintes limites (do tipo \mathbf{0} \boldsymbol{/} \mathbf{0} envolvendo conjugado de radicais):
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{5-x}}{\sqrt{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{5-x}}{\sqrt{x}-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a estudar é \dfrac{\sqrt{x-3}-\sqrt{5-x}}{\sqrt{x}-2}.
  • Ao substituir x=4 diretamente, o numerador fica \sqrt{4-3}-\sqrt{5-4}=1-1=0 e o denominador fica \sqrt{4}-2=2-2=0.
    Portanto trata-se de uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}. A tarefa é eliminar essa indeterminação e calcular o valor do limite.

Passo 2

Estratégia: como temos radicais tanto no numerador quanto no denominador, uma técnica clássica é racionalizar (usar conjugado) para eliminar raízes. Lembrete rápido sobre conjugado:
  • Se a e b são expressões, o conjugado de a-b é a+b.
  • Produto do conjugado dá diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Isso é útil porque ao multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador) podemos transformar radicais em expressões polinomiais mais simples. Vamos aplicar isso aqui: multiplicar por \dfrac{\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}}.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{5-x}}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}} = \frac{(\sqrt{x-3}-\sqrt{5-x})(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})}.
Usando a identidade da diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{x-3})^{2}-(\sqrt{5-x})^{2}=(x-3)-(5-x)=2x-8=2(x-4).
Logo a expressão fica
\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})}.

Passo 4

Agora observe que x-4 pode ser fatorado em termos de \sqrt{x}:
x-4=(\sqrt{x})^{2}-2^{2}=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Substituindo x-4 na expressão:
\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})} = \frac{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})}.

Passo 5

Como estamos calculando um limite para x\to 4, podemos cancelar o fator comum \sqrt{x}-2 para x\neq 4 (isso é legítimo porque o limite depende do comportamento próximo de 4, não do valor exatamente em 4). Após o cancelamento obtemos a função simplificada:
\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}}.
Agora essa nova expressão é contínua em torno de x=4, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=4.

Passo 6

Avaliação direta em x=4:
  • \sqrt{4}=2,
  • \sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1,
  • \sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1.
    Substituindo:
\frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{4-3}+\sqrt{5-4}} = \frac{2(2+2)}{1+1} = \frac{2\cdot 4}{2} = \frac{8}{2}=4.
Portanto o limite existe e vale 4.

Resposta

4

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