Calcule os seguintes limites (do tipo \infty / \infty ):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to +\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}}\right).
Informações dadas (expressão que aparece no limite):
  • A função interior ao seno é \dfrac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to +\infty.
    A tarefa é calcular o valor desse limite.

Passo 2

Observação: o numerador e o denominador são polinômios em x de grau 2. Uma técnica prática é dividir numerador e denominador pelo maior grau presente, aqui x^{2}, para ver o comportamento quando x\to+\infty.
Dividindo ambos por x^{2} obtemos:
\frac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}} = \frac{\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}+\pi}{\dfrac{12}{x}+4}.

Passo 3

Agora analisamos os termos que dependem de x quando x\to+\infty. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{12}{x}=0.
Portanto, passando ao limite na fração interior:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}} = \frac{\pi+0+0}{4+0} = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

A função \operatorname{sen}(\cdot) é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, se a expressão dentro do seno tende a \dfrac{\pi}{4}, então o limite do seno é o seno do limite:
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2+x+\pi x^{2}}{12 x+4 x^{2}}\right) = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Recordando o valor trigonométrico conhecido,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
(Se preferir ver em decimal, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071.)

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados