Calcule as constantes de modo que:
lim x +infty[a x-b x+3x+1]=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as constantes a e b tais que
limxto+inftyl[a x - b x + 3x+1r] = 5
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite em infinito de combinação de um termo polinomial a x com uma fração racional tfracb x+3x+1.

Passo 2

Vamos simplificar a fração tfracb x+3x+1 por divisão polinomial. Dividindo b x+3 por x+1 obtemos
b x + 3x+1 = b + 3 - bx+1

Passo 3

Substituindo essa expressão na função dentro do limite, temos
a x - b x + 3x+1 = a x - l(b + 3 - bx+1r) = a x - b - 3 - bx+1

Passo 4

Para xto+infty, o termo tfrac3-bx+1 tende a zero, mas a x tende a +infty ou -infty salvo se a=0. Como queremos um limite finito igual a 5, precisamos de
a = 0

Passo 5

Com a=0, a expressão fica
0cdot x - b - 3 - bx+1 ;xrightarrow[xtoinfty];-,b
Para que esse valor seja 5, basta resolver
-,b = 5 Longrightarrow b = -5

Resposta

a = 0
b = -5

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