Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
X^prime=(ll4 & -5 5 & -4) X

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo de dimensão 2
X' = A,X,
once
A = 4 & -5 [6pt] 5 & -4,
e pede a solução geral. O conteúdo envolvido é resolver sistemas com autovalores complexos ou, de forma equivalente, reduzir a um único segundo-grau para obter funções trigonométricas.]

Passo 2

Vamos achar a equação característica de A. Ela vem de
det(A - lambda I) = det!4-lambda & -5 [4pt] 5 & -4-lambda =(4-lambda)(-4-lambda)-(-5)(5) =lambda^2+9=0
Logo,
lambda = pm 3,i
]

Passo 3

Para não trabalhar com vetores complexos, observe que o sistema implica uma equação de segunda ordem para a primeira componente x(t). De x'=4x-5y e y'=5x-4y, diferencie x' em relação a t:
x'' = 4x' - 5y'
Substituindo x'=4x-5y e y'=5x-4y obtemos
x'' = 4(4x-5y) -5(5x-4y) = (16x -20y) - (25x -20y) = -9x,
isto é,
x'' + 9,x = 0

Passo 4

A equação
x'' + 9x = 0
é a do oscilador harmônico. Sua solução geral é
x(t) = C1 cos(3t) + C2 sin(3t),
com constantes C1,C2inR.

Passo 5

Para achar y(t), use x' = 4x -5y. Isolando y,
y = 4x - x'5
Substitua x e x':
x' = -3C1sin(3t) + 3C2cos(3t),
logo
y(t) = 4l(C1cos(3t)+C2sin(3t)r) -l(-3C1sin(3t)+3C2cos(3t)r)5 =(4C1-3C2)cos(3t)+(4C2+3C1)sin(3t)5

Passo 6

Reunindo, a solução geral do sistema é
x(t) = C1 cos(3t) + C2 sin(3t),[6pt] y(t) = dfrac4C1-3C25,cos(3t) + dfrac4C2+3C15,sin(3t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.]

Resposta

X(t) = C1 cos(3t) + C2 sin(3t) [6pt] dfrac4C1-3C25,cos(3t) + dfrac4C2+3C15,sin(3t) ,
once C1 e C2 são constantes reais.]

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