Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
(b) F(x, y)=y i+x j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com P(x,y)=y e Q(x,y)=x é conservativo.
Conteúdo: teste de campos conservativos em R^2, usando a condição de igualdade dos derivados parciais cruzados e a noção de domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Calculemos os derivados parciais cruzados:
partial Ppartial y =partialpartial y(y)=1, partial Qpartial x =partialpartial x(x)=1
Como
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
a condição diferencial para conservatividade está satisfeita.

Passo 3

O domínio natural deste campo é todo R^2, que é simplesmente conexo (não há “buracos”).
Num domínio simplesmente conexo a igualdade
partial P/partial y=partial Q/partial x
é condição suficiente para que F seja conservativo.
Logo, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F, integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral P,dx=integral y,dx=xy+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Derivando em relação a y:
partialphipartial y =x+h'(y)
deve ser igual a Q(x,y)=x, o que implica h'(y)=0 e portanto h(y)=C constante.
Assim
phi(x,y)=xy+C

Resposta

F(x,y)=y,i+x,j é conservativo, com potencial
phi(x,y)=xy+C.

Exercícios relacionados