Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
com e
é conservativo.
Conteúdo: teste de campos conservativos em , usando a condição de igualdade dos derivados parciais cruzados e a noção de domínio simplesmente conexo.
com
Conteúdo: teste de campos conservativos em
Passo 2
Calculemos os derivados parciais cruzados:
Como
,
a condição diferencial para conservatividade está satisfeita.
a condição diferencial para conservatividade está satisfeita.
Passo 3
O domínio natural deste campo é todo
, que é simplesmente conexo (não há “buracos”).
Num domínio simplesmente conexo a igualdade
é condição suficiente para que seja conservativo.
Logo, é conservativo.
Num domínio simplesmente conexo a igualdade
é condição suficiente para que
Logo,
Passo 4
Para encontrar a potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Derivando em relação a
:
deve ser igual a
, o que implica
e portanto
constante.
Assim
Assim