Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
sob a condição
. O conteúdo aqui é inequação de frações racionais: precisamos encontrar o domínio, passar tudo para um único quociente e estudar o sinal desse quociente.
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades das frações originais: os denominadores não podem ser zero. Logo
Como já temos a restrição
, o domínio efetivo será
Passo 3
Trazemos tudo para o mesmo lado da desigualdade:
Fazendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores
, obtemos
Passo 4
Para montar o quadro de sinais, identificamos os zeros do numerador e as raízes do denominador:
e
O ponto
não pertence a
, então na prática só precisamos ver o sinal em
e em
.
Passo 5
Analisamos o sinal de cada fator para
:
-
é sempre negativo para ? Na verdade, para temos , logo . -
em todo o domínio. -
é negativo em e positivo em .
Assim o quociente
é negativo em
(negativo sobre positivo
negativo) e positivo em
.
Passo 6
Queremos onde
. Como não há igualdade possível em
(o zero do numerador está fora), só restam os trechos em que a expressão é negativa ou zero. Constatamos que ela é negativa em
e positiva em
. Portanto a solução é
Em gráfico de linha, marcamos com círculo aberto em
e em
, e pintamos o intervalo entre eles.