Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
1x+1 >= 3x-2 x>-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
1x+1;>=;3x-2,
sob a condição x>-1. O conteúdo aqui é inequação de frações racionais: precisamos encontrar o domínio, passar tudo para um único quociente e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades das frações originais: os denominadores não podem ser zero. Logo
x+1neq0Rightarrow xneq -1,
x-2neq0Rightarrow xneq 2
Como já temos a restrição x>-1, o domínio efetivo será
(-1,2),cup,(2,infty)

Passo 3

Trazemos tudo para o mesmo lado da desigualdade:
1x+1-3x-2;>=;0
Fazendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores (x+1)(x-2), obtemos
(x-2)-3(x+1)(x+1)(x-2);>=;0 Longrightarrow -2x-5(x+1)(x-2);>=;0

Passo 4

Para montar o quadro de sinais, identificamos os zeros do numerador e as raízes do denominador:
-2x-5=0Rightarrow x=-tfrac52,
e
x+1=0;(x=-1), x-2=0;(x=2)
O ponto x=-tfrac52 não pertence a x>-1, então na prática só precisamos ver o sinal em (-1,2) e em (2,infty).

Passo 5

Analisamos o sinal de cada fator para x>-1:
  • -2x-5 é sempre negativo para x>-1? Na verdade, para x>-1 temos 2x+5>3, logo -2x-5<0.
  • x+1>0 em todo o domínio.
  • x-2 é negativo em (-1,2) e positivo em (2,infty).
    Assim o quociente
-2x-5(x+1)(x-2)
é negativo em (-1,2) (negativo sobre positivo timesnegativo) e positivo em (2,infty).

Passo 6

Queremos onde -2x-5(x+1)(x-2)>=0. Como não há igualdade possível em x>-1 (o zero do numerador está fora), só restam os trechos em que a expressão é negativa ou zero. Constatamos que ela é negativa em (-1,2) e positiva em (2,infty). Portanto a solução é
(-1,2)
Em gráfico de linha, marcamos com círculo aberto em -1 e em 2, e pintamos o intervalo entre eles.

Resposta

(-1,2)

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