Em que ponto da curva y=2+x^2 a reta tangente tem ângulo de inclinação p / 3 ?

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva y=2+x^2 em que a reta tangente forma ângulo de inclinação pi/3. O conteúdo envolvido é derivada para determinar o coeficiente angular da tangente e a relação entre coeficiente angular e ângulo de inclinação ( m=tantheta).

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a x, que dá o coeficiente angular da reta tangente:
dydx=2x
Sabendo que o ângulo de inclinação theta satisfaz m=tantheta, para theta=pi/3 temos
m=tanl(pi/3r)=raiz3

Passo 3

Igualamos a derivada ao coeficiente angular desejado e resolvemos para x:
2x=raiz3 Longrightarrow x=raiz32

Passo 4

Para obter a coordenada y, substituímos x=raiz32 na equação da curva:
y=2+l(raiz32r)^2 =2+34 =114

Resposta

O ponto é l(tfracraiz32,,tfrac114r).

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