Calcule os seguintes limites:
lim n +infty raizxraizx+raizx+raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Esse tipo de problema está relacionado aos limites de funções e ao comportamento assintótico quando a variável cresce sem limites. Para resolver, vamos usar propriedades de radicais e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do denominador: . À medida que cresce, cada radical adiciona uma contribuição menor em relação a em si. Então, podemos simplificar aproximando para , já que os termos adicionais se tornam insignificantes.

Passo 3

Com essa simplificação, a expressão original fica mais fácil de lidar:
raizxraizx + raizx + raizx approx raizxraizx = 1
Isso sugere que, conforme tende ao infinito, o limite da expressão deve ser próximo de 1.

Passo 4

Para ter certeza, vamos refinar a aproximação considerando o próximo termo. Reescrevendo o denominador:
raizx + raizx + raizx = raizx + raizx cdot raiz1 + 1raizx
Quando é muito grande, é quase zero, então podemos expandir .

Passo 5

Substituindo de volta:
raizx + raizx (1 + 12raizx) = raizx + raizx + 12
Novamente, para raizx + raizx approx raizx (1 + 12raizx) grande, domina sobre , então a expressão se aproxima de:

Passo 6

Agora, voltando à expressão original:
raizxraizx (1 + 12raizx) = 11 + 12raizx
À medida que 11 + 0 = 1 tende ao infinito, tende a zero, então:

Resposta

Portanto, o limite quando tende ao infinito da expressão é igual a 1.

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