Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x -infty raiz2 x^2+34 x+2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício é de cálculo de limites no infinito, mais especificamente envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais e radicais se comportam quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que raiz2x^2 + 3 = raizx^2 (2 + 3x^2) = |x| raiz2 + 3x^2 tem um termo quadrático dominante ( ), então para facilitar, vamos fatorar de dentro da raiz:

Passo 3

Como estamos considerando raiz2x^2 + 3 = -x raiz2 + 3x^2 , é negativo, então . Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no limite original:
lim x -infty -x raiz2 + 3x^24x + 2

Passo 5

Podemos dividir numerador e denominador por lim x -infty - raiz2 + 3x^24 + 2x (que está indo para ):

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando - raiz2 + 04 + 0 = -raiz24 . Os termos e vão para zero, então a expressão simplifica para:

Resposta

lim x -infty raiz2 x^2+34 x+2 = -raiz24

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