Calcule as constantes de modo que:
lim x +infty f(x)=3 e lim x 2 f(x)=1, sendo f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4(x^2+x-2)

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos as constantes a,b,c,d de modo que
  1. limxto+inftyf(x)=3,
  2. limxto2f(x)=1,
    sendo
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4l(x^2+x-2r)
O conteúdo principal aqui é análise de limites de funções racionais: no infinito, usamos comparação de graus de polinômios; num ponto de continuidade simples, basta substituir.

Passo 2

Para a existência de limxto+inftyf(x) finito, o grau do numerador não pode exceder o do denominador. Como o denominador é de grau 2, devemos ter a=0. Assim
f(x)=b x^2+c x+d4(x^2+x-2)
Agora, quando xto+infty, o termo dominante dá
limxto+inftyf(x) =b4 stackrel!=3 Longrightarrow b=12

Passo 3

Como x=2 não zera o denominador ( 2^2+2-2=4neq0), f é contínua em x=2 e basta impor
f(2)=1
Substituindo b=12 e x=2 em f(x) obtemos
f(2) =12cdot2^2+ccdot2+d4(2^2+2-2) =48+2c+d4cdot4 =48+2c+d16 stackrel!=1

Passo 4

Da igualdade 48+2c+d16=1 segue
48+2c+d=16 Longrightarrow 2c+d=-32
Não há mais restrições, logo c e d satisfazem essa relação.

Resposta

a=0, b=12,e 2c+d=-32

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