Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
ou seja, um caso de equação potencialmente não exata em
e
. O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Primeiro escrevemos em forma diferencial
identificando
Passo 3
Verificamos se é exata:
como
, não é exata. Então buscamos um fator integrante dependente só de
ou só de
.
Passo 4
Testamos um fator integrante
. Calculamos
que depende apenas de
. Logo
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora temos
e
portanto é exata.
Passo 6
Existe uma função potencial
tal que
Derivando em
temos
que deve ser igual a
. Assim
Logo
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é a constante de integração.