Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(1-x y) y^prime=y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1 - x y),y' = y^2
ou seja, um caso de equação potencialmente não exata em x e y. O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma diferencial
(1 - x y),dy - y^2,dx = 0
identificando
M(x,y) = -y^2, N(x,y) = 1 - x y

Passo 3

Verificamos se é exata:
partial Mpartial y = -2y, partial Npartial x = -y,
como -2y neq -y, não é exata. Então buscamos um fator integrante dependente só de x ou só de y.

Passo 4

Testamos um fator integrante mu(y). Calculamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM = -y -(-2y)-y^2 = y-y^2 = -1y,
que depende apenas de y. Logo
mu(y) = exp!l(integral -tfrac1y,dyr) = 1y

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(y)=1/y, obtendo
-y,dx +l(tfrac1y - xr),dy = 0
Agora temos
M^*(x,y) = -y, N^*(x,y) = tfrac1y - x,
e
partial M^*partial y = -1, partial N^*partial x = -1,
portanto é exata.

Passo 6

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x = M^*(x,y) = -y Longrightarrow phi(x,y) = -xy + h(y)
Derivando em y temos
partialphipartial y = -x + h'(y)
que deve ser igual a N^*(x,y)=tfrac1y - x. Assim
- x + h'(y) = - x + 1y Longrightarrow h'(y) = 1y Longrightarrow h(y) = lnlvert yrvert
Logo
phi(x,y) = -x y + lnlvert yrvert

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
-,x y + lnlvert yrvert = C,
onde C é a constante de integração.

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