Inverta a ordem de integração e calcule integral0^1 integralx^1 sin (y)y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e calcular. O enunciado é:
integral0^1 integralx^1 sin(y)y , dy , dx
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração por partes em duas variáveis e inverter a ordem de integração. Isso vai facilitar nosso cálculo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem $ x $ variando de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ até 1. Se desenharmos isso no plano $ xy $, a região é um triângulo onde $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ x \leq y \leq 1 $.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em $ y $ de $ x $ até 1 e depois em $ x $ de 0 a 1, vamos integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $.
Para isso, observamos que para um dado $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y $. Então, a nova integral fica:
y

Passo 4

Vamos resolver a integral interna integral0^y sin(y)y , dx. Note que, dentro dessa integral, $ \frac{\sin(y)}{y} $ é uma constante em relação a $ x $, pois $ y $ é fixo nessa parte.
Então, a integral interna simplifica para:
sin(y)y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral0^1 sin(y) , dy
Essa é uma integral simples que sabemos calcular.

Passo 6

Vamos calcular integral0^1 sin(y) , dy. A antiderivada de sin(y) é -cos(y), então:
integral0^1 sin(y) , dy = [ -cos(y) ]0^1 = -cos(1) - (-cos(0)) = -cos(1) + 1

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
1 - cos(1)

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