Inverta a ordem de integração e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e calcular. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração por partes em duas variáveis e inverter a ordem de integração. Isso vai facilitar nosso cálculo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem $ x $ variando de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ até 1. Se desenharmos isso no plano $ xy $, a região é um triângulo onde $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ x \leq y \leq 1 $.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em $ y $ de $ x $ até 1 e depois em $ x $ de 0 a 1, vamos integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $.
Para isso, observamos que para um dado $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y $. Então, a nova integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna
. Note que, dentro dessa integral, $ \frac{\sin(y)}{y} $ é uma constante em relação a $ x $, pois $ y $ é fixo nessa parte.
Então, a integral interna simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
Essa é uma integral simples que sabemos calcular.
Passo 6
Vamos calcular
. A antiderivada de
é
, então:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: