Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se
é contínua então
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação envolve integrais duplas de uma função contínua
. O conteúdo aqui é de cálculo, mais especificamente sobre troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar a região de integração e verificar se, ao trocar a ordem dos integrais, a região continua a mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração da integral dupla à esquerda:
Aqui,
varia de 1 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região no plano
. O intervalo de
é de 1 a 2. Para cada valor de
,
vai de 0 até
. A função
aumenta quando
aumenta, então a região está abaixo da curva
.
Passo 4
Agora, vamos entender a integral dupla à direita:
Aqui,
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
a 2.
Passo 5
Desenhando essa região, vemos que
vai de 0 a
. Para cada
,
começa em
e vai até 2. Isso também descreve a mesma região que a primeira integral, mas agora iterando
primeiro e depois
.
Passo 6
Como a função
é contínua e as integrais estão sobre a mesma região, podemos aplicar o Teorema de Fubini, que nos permite trocar a ordem de integração sem alterar o valor da integral.
Resposta
Verdadeira.