Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f é contínua então
integral1^2 integral0^ln y f(x, y) d x d y=integral0^ln 2 integrale^x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação envolve integrais duplas de uma função contínua f(x, y) . O conteúdo aqui é de cálculo, mais especificamente sobre troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar a região de integração e verificar se, ao trocar a ordem dos integrais, a região continua a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração da integral dupla à esquerda:
integral1^2 integral0^ln y f(x, y) , dx , dy
Aqui, y varia de 1 a 2, e para cada y , x varia de 0 a ln y .

Passo 3

Vamos desenhar essa região no plano xy . O intervalo de y é de 1 a 2. Para cada valor de y , x vai de 0 até ln y . A função ln y aumenta quando y aumenta, então a região está abaixo da curva x = ln y .

Passo 4

Agora, vamos entender a integral dupla à direita:
integral0^ln 2 integrale^x^2 f(x, y) , dy , dx
Aqui, x varia de 0 a ln 2 , e para cada x , y varia de e^x a 2.

Passo 5

Desenhando essa região, vemos que x vai de 0 a ln 2 . Para cada x , y começa em e^x e vai até 2. Isso também descreve a mesma região que a primeira integral, mas agora iterando x primeiro e depois y .

Passo 6

Como a função f é contínua e as integrais estão sobre a mesma região, podemos aplicar o Teorema de Fubini, que nos permite trocar a ordem de integração sem alterar o valor da integral.

Resposta

Verdadeira.

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