Calcule a convolução f * g, sendo:
f(x)=e^{-4 x} \cdot u_{0}(x), \quad g(x)=e^{-5 x} \cdot u_{0}(x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da convolução
(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\,g(x-\tau)\,d\tau
onde
f(x)=e^{-4x}\,u_{0}(x), \quad g(x)=e^{-5x}\,u_{0}(x).
O conteúdo principal é a definição de convolução e o uso da propriedade do degrau unitário u_{0}(x) para restringir os limites de integração.

Passo 2

Como u_{0}(\tau) e u_{0}(x-\tau) garantem que f(\tau) e g(x-\tau) só existem para \tau\ge0 e x-\tau\ge0, respectivamente, temos para x<0
(f*g)(x)=0,
e para x\ge0
(f*g)(x) =\int_{0}^{x}e^{-4\tau}\,e^{-5\,(x-\tau)}\,d\tau.

Passo 3

Dentro do integrando, separamos o fator e^{-5x}:
e^{-4\tau}\,e^{-5(x-\tau)} =e^{-5x}\,e^{-4\tau+5\tau} =e^{-5x}\,e^{\tau}.
Logo
(f*g)(x)=e^{-5x}\int_{0}^{x}e^{\tau}\,d\tau.

Passo 4

Calculamos a integral simples de e^{\tau} de 0 a x:
\int_{0}^{x}e^{\tau}\,d\tau =\bigl[e^{\tau}\bigr]_{0}^{x} =e^{x}-1.

Passo 5

Substituindo de volta, para x\ge0:
(f*g)(x) =e^{-5x}\bigl(e^{x}-1\bigr) =e^{-4x}-e^{-5x}.
Assim, incluindo o apoio do degrau unitário, obtemos
(f*g)(x) =\bigl(e^{-4x}-e^{-5x}\bigr)\,u_{0}(x).

Resposta

(f*g)(x)=\bigl(e^{-4x}-e^{-5x}\bigr)\,u_{0}(x).

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