Questão 1. Uma mola com constate de elasticidade de 36 unidades de medida, tem uma de suas extremidades preza à parede e na outra extremidade foi fixado um corpo de massa 4 Kg , de modo que o objeto ainda fica apoiado em uma superfície horizontal. Assuma que o objeto foi deslocado em x metros e descreva o movimento x(t) do objeto em função do tempo t em cada um dos itens abaixo:
a) Assuma que a superfície está extremamente polida de modo que não apresente força de atrito.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem atrito com massa m=4,kg e constante elástica k=36. O conteúdo principal é equacionar o movimento oscilatório usando a segunda lei de Newton e a lei de Hooke, resultando numa EDO para movimento harmônico simples.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton ( F=m\ddot x) e a lei de Hooke ( F=-kx) temos que a soma das forças resulta em
4\,\ddot x + 36\,x = 0

Passo 3

Dividindo a equação por 4 obtém-se
\ddot x + 9\,x = 0
Dessa forma o coeficiente angular do oscilador é \omega^2=9, logo
\omega = 3\\ (\text{rad/s}).

Passo 4

A solução geral da EDO \ddot x + \omega^2 x=0 é
x(t) = C_{1}\cos(3t) + C_{2}\sin(3t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Alternativamente, podemos escrever em forma de amplitude e fase:
x(t)=A\cos\bigl(3t + \varphi\bigr),
sendo A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}} e \varphi=\arctan(-C_{2}/C_{1}). O período das oscilações é
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

x(t) = C_{1}\cos(3t) + C_{2}\sin(3t)
ou, equivalentemente,
x(t)=A\cos\bigl(3t + \varphi\bigr),
com período T=2\pi/3.

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