(Valor: 2,5 ) Com o auxílio do Teorema de Green, calcular a integral de linha
\oint_{C}(3+2 x y) d x+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) d y
onde C é uma curva qualquer fechada, suave do \mathbb{R}^{2} (isto é, de classe C^{1} ) e orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}(3+2xy)\,dx+\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)\,dy
onde C é uma curva fechada suave e orientada positivamente, usando o Teorema de Green. Esse teorema diz que, se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma região D cujo contorno orientado positivamente é C, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=3+2xy, \quad Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr) =2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3+2xy\bigr) =2x.

Passo 3

Substituindo no integrando do teorema de Green, obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x-2x=0.

Passo 4

Como o integrando é zero em toda parte de D, a integral dupla vale
\iint_{D}0\,dA=0,
logo, pelo Teorema de Green, a integral de linha também é zero.

Resposta

0

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