(Valor: 2,5 ) Com o auxílio do Teorema de Green, calcular a integral de linha
onde
é uma curva qualquer fechada, suave do
(isto é, de classe
) e orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é uma curva fechada suave e orientada positivamente, usando o Teorema de Green. Esse teorema diz que, se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região
cujo contorno orientado positivamente é
, então
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Substituindo no integrando do teorema de Green, obtemos
Passo 4
Como o integrando é zero em toda parte de
, a integral dupla vale
logo, pelo Teorema de Green, a integral de linha também é zero.