Calcule a transformada de Fourier inversa de:
\hat{f}(\omega)=\frac{3}{(2+i \omega)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier inversa de
\hat f(\omega)=\frac{3}{(2+i\omega)^{2}}.
Estamos trabalhando com a convenção
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \quad\text{e}\quad f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
O conteúdo principal é usar pares conhecidos e a propriedade de derivada em frequência.

Passo 2

Recordamos o par básico
\mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\}(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{a+i\omega},
válido para \Re(a)>0 e onde u(t) é a função degrau de Heaviside.

Passo 3

Usamos agora a propriedade de derivada em frequência: se
F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\},
então
\mathcal{F}\{t\,f(t)\} =i\frac{d}{d\omega}F(\omega).
No nosso caso, tomando f(t)=e^{-2t}u(t) com a=2, temos
\mathcal{F}\{t\,e^{-2t}u(t)\} =i\frac{d}{d\omega}\Bigl(\frac{1}{2+i\omega}\Bigr) =i\Bigl(-\frac{i}{(2+i\omega)^{2}}\Bigr) =\frac{1}{(2+i\omega)^{2}}.

Passo 4

A nossa \hat f(\omega) difere desse resultado por um fator 3. Logo, pela linearidade da transformada inversa, obtemos
f(t)=3\;\bigl(t\,e^{-2t}u(t)\bigr).

Resposta

f(t)=3\,t\,e^{-2t}\,u(t).

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