(Valor: 2,5 ) Seja C o arco de parábola de equação y=x^{2}, do ponto (0,0) a (3,9). Calcule
\int_{C}(y+2 x) d s

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar sobre o arco de parábola y=x^2 de (0,0) a (3,9):
\int_{C}(y+2x)\,ds.
O conteúdo é o cálculo de
\int_C f(x,y)\,ds
onde f(x,y)=y+2x e ds é o elemento de comprimento de arco. Vamos parametrizar a curva, expressar ds em função de x e reduzir tudo a uma integral em x.

Passo 2

Parametrizamos por
\begin{cases} x=t,\\\ y=t^2, \end{cases} \quad t\in[0,3].
Então dx=dt e dy=2t\,dt, logo
ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} =\sqrt{1+(2t)^2}\,dt =\sqrt{1+4t^2}\,dt.
A integral vira
\int_{0}^{3}\bigl(t^2+2t\bigr)\,\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 3

Separemos em duas integrais:
I=\int_{0}^{3}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt \quad\text{e}\quad J=\int_{0}^{3}2t\sqrt{1+4t^2}\,dt,
de modo que \displaystyle\int_C(y+2x)\,ds=I+J.

Passo 4

Cálculo de J. Use u=1+4t^2, du=8t\,dt t\,dt=du/8:
J=\int_{0}^{3}2t\sqrt{1+4t^2}\,dt =2\int_{u(0)=1}^{u(3)=37}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{4}\int_{1}^{37}u^{1/2}du =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{37} =\frac{(37)^{3/2}-1}{6}.

Passo 5

Cálculo de I. Use a substituição trigonométrica 2t=\tan\theta, t=\tfrac12\tan\theta, dt=\tfrac12\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, e \sqrt{1+4t^2}=\operatorname{sec}\theta. Os limites vão de \theta=0 a \theta=\arctan(6). Após aplicar a fórmula de redução para \int\operatorname{sec}^n\theta\,d\theta, chega-se a
I =\int_{0}^{3}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt =\frac{1}{32}\Bigl[ 6\,(37)^{3/2} -3\sqrt{37} -\tfrac12\ln\bigl(\sqrt{37}+6\bigr) \Bigr].

Passo 6

Agora somamos I e J:
\int_C(y+2x)\,ds =I+J =\frac{1}{32}\Bigl[6(37)^{3/2}-3\sqrt{37}-\tfrac12\ln(\sqrt{37}+6)\Bigr] +\frac{(37)^{3/2}-1}{6}.
Colocando sobre denominador comum e agrupando:
\int_C(y+2x)\,ds =\frac{17\,(37)^{3/2}}{48} -\frac{3\sqrt{37}}{32} -\frac{1}{64}\ln\bigl(\sqrt{37}+6\bigr) -\frac{1}{6}.

Resposta

\int_{C}(y+2x)\,ds =\frac{17\,(37)^{3/2}}{48} -\frac{3\sqrt{37}}{32} -\frac{1}{64}\ln\bigl(\sqrt{37}+6\bigr) -\frac{1}{6}.

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