Use frações parciais para obter senh t-t. Agora use a última fórmula do exercício (2) para obter , em seguida após nova aplicação da mesma fórmula, calcule .
R. .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de duas funções racionais usando frações parciais e depois a propriedade de divisão por s. Vamos precisar de: (a) decomposição em frações parciais, (b) transformadas inversas básicas ( 1/s, 1/s^2, 1/(spm1)), e © a fórmula que diz que L!integral0^t f(u),du=F(s)/s.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
1s^2(s^2-1)=As+Bs^2+Cs-1+Ds+1,
e juntamos as frações sobre o mesmo denominador para achar A,B,C,D.
Igualando coeficientes em
1=A s (s^2-1)+B (s^2-1)+C s^2(s+1)+D s^2(s-1),
podemos escolher valores de s ou expandir e comparar termos. Chega-se a:
A=0, B=-1, C=tfrac12, D=-tfrac12

Passo 3

Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas:
L^-1tfracAs=0,L^-1tfracBs^2=-t,
L^-1tfracCs-1=tfrac12e^t,L^-1tfracDs+1=-tfrac12e^-t
Somando, obtemos diretamente
L^-1tfrac1s^2(s^2-1)=tfrac12e^t-tfrac12e^-t-t=sinh t -t

Passo 4

Como alternativa, usamos a propriedade de divisão por s. Primeiro note que
L^-1tfrac1s^2-1=sinh t
Então
L^-1tfrac1s(s^2-1)=integral0^tsinh u,du=cosh t-1
Aplicando de novo a mesma propriedade,
L^-1tfrac1s^2(s^2-1) = integral0^t(cosh u -1),du = sinh t - t

Resposta

\sinh t - t

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