Calcule a coordenada y do centro de massa (a coordenada x é zero).
(a) R / 2
(b) 3 R / 5
© 2 R / 3
(d) 2 R / pi
(e) 4 R / 3 backslash pi

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Calcule a coordenada do centro de massa de uma meia-lâmina circular de raio (a coordenada é zero).”
Conteúdo: centro de massa de uma região contínua (lámina), usando integrais e coordenadas polares.
O que vamos usar:
  • Definição (densidade constante);
  • Mudança para coordenadas polares : , , ;
  • Área da meia-lâmina é .

Passo 2

Definimos densidade superficial constante yrm cm=1Aintegralcal Ry,dA =1tfrac12pi R^2integral duplacal Ry,dA . Como é constante, ela cancela, dando
Aqui é o semicírculo de 0 a e de 0 a .

Passo 3

Passamos para polares:
integral duplacal Ry,dA =integraltheta=0^piintegralr=0^R(rsintheta),(r,dr,dtheta) =integral0^piintegral0^Rr^2sintheta,dr,dtheta ,
.
Logo o numerador vira

Passo 4

Fazendo a integral em integral dupla y,dA =integral0^pil(R^33r)sintheta,dtheta =R^33integral0^pisintheta,dtheta =R^33l[-costhetar]0^pi =R^33,(2) =2R^33 primeiro:
.
Então

Passo 5

Agora voltamos em
yrm cm =1tfrac12pi R^2,2R^33 =2R^3/3(pi R^2)/2 =2R^33cdot2pi R^2 =4R3pi

Resposta

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