Calcule a coordenada y do centro de massa (a coordenada x é zero).
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, o exercício pede: “Calcule a coordenada
do centro de massa de uma meia-lâmina circular de raio
(a coordenada
é zero).”
Conteúdo: centro de massa de uma região contínua (lámina), usando integrais e coordenadas polares.
O que vamos usar:
Conteúdo: centro de massa de uma região contínua (lámina), usando integrais e coordenadas polares.
O que vamos usar:
- Definição
(densidade constante); - Mudança para coordenadas polares
: , , ; - Área da meia-lâmina é
.
Passo 2
Definimos densidade superficial constante
. Como
é constante, ela cancela, dando
Aqui
é o semicírculo de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 3
Passamos para polares:
,
.
Logo o numerador vira
Logo o numerador vira
Passo 4
Fazendo a integral em
primeiro:
.
Então
Então
Passo 5
Agora voltamos em