Seja E o sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1, entre os planos z=0 e z=y+1. Calcule: (i) o volume de E; (ii) o valor médio da função y^{2} em E. Em cada caso, expresse as integrais envolvidas como integrais iteradas de duas formas, usando coordenadas cilíndricas e coordenadas cartesianas, e por fim escolha a forma mais apropriada de finalizar o cálculo.

Passo 1

O enunciado dá o sólido E limitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e verticalmente pelos planos z=0 (embaixo) e z=y+1 (acima). As perguntas são:
(i) Calcular o volume de E.
(ii) Calcular o valor médio da função y^{2} em E, isto é
\text{média}(y^{2})=\frac{1}{\operatorname{Vol}(E)}\iiint_{E} y^{2}\,dV.é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Base projetada no plano }xy:\; D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}\\ (\text{o disco unitário}).\\\ &\text{Para cada }(x,y)\in D,\; z \text{ varia de }0\text{ até }y+1. \end{aligned}áé
Observação útil (tirada do próprio enunciado): para (x,y)\in D temos -1\le y\le 1, logo y+1\ge 0 e a região em z está bem definida.

Passo 2

Expressões das integrais para o volume \operatorname{Vol}(E)=\iiint_{E} dV.
Primeiro, reduzimos o integral triplo a um integral duplo sobre D usando que, para cada (x,y)\in D, a altura em z é y+1-0=y+1. Assim
\operatorname{Vol}(E)=\iint_{D} (y+1)\,dA.
Formas em coordenadas cartesianas (duas escritas como integrais iteradas):
\operatorname{Vol}(E)=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} (y+1)\,dx\,dy
ou, trocando a ordem,
\operatorname{Vol}(E)=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} (y+1)\,dy\,dx.
Agora em coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; dA=r\,dr\,d\theta. O disco D é dado por 0\le r\le 1,\;0\le\theta\le 2\pi. Portanto
\operatorname{Vol}(E)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \big(r\sin\theta+1\big)\, r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r^{2}\sin\theta + r\big)\,dr\,d\theta.
Comentários rápidos sobre escolha: a expressão em cilíndricas separa bem as dependências angulares e radiais; além disso o termo com \sin\theta costuma anular-se por simetria, então é a forma mais apropriada para finalizar o cálculo do volume.

Passo 3

Cálculo efetivo do volume usando coordenadas cilíndricas (forma mais simples).
Partimos de
\operatorname{Vol}(E)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r^{2}\sin\theta + r\big)\,dr\,d\theta.
Separe os termos:
\operatorname{Vol}(E)=\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta}_{I_{1}} \;+\; \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta}_{I_{2}}.
Calcule I_{1}. O termo r^{2} depende só de r e \sin\theta só de \theta, então
I_{1}=\left(\int_{0}^{1} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\right).
Mas \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0 (seno tem média zero no intervalo 0 a 2\pi), então I_{1}=0.
Calcule I_{2}:
I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right)d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Portanto
\operatorname{Vol}(E)=\pi.

Passo 4

Expressões das integrais para a média de y^{2}.
A média pedida é
\text{média}(y^{2})=\frac{1}{\operatorname{Vol}(E)}\iiint_{E} y^{2}\,dV.é
Novamente, integrando em z primeiro (para cada (x,y)\in D, z vai de 0 até y+1), o integral triplo reduz-se a
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\iint_{D} y^{2}(y+1)\,dA=\iint_{D} \big(y^{3}+y^{2}\big)\,dA.
Formas em coordenadas cartesianas (duas iterações possíveis):
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} \big(y^{3}+y^{2}\big)\,dx\,dy
ou
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \big(y^{3}+y^{2}\big)\,dy\,dx.
Forma em coordenadas cilíndricas: y=r\sin\theta, então y^{3}+y^{2}=r^{3}\sin^{3}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta. Multiplicando pelo Jacobiano r do dA obtemos o integrando
r\big(r^{3}\sin^{3}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta\big)=r^{4}\sin^{3}\theta + r^{3}\sin^{2}\theta.
Logo
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r^{4}\sin^{3}\theta + r^{3}\sin^{2}\theta\big)\,dr\,d\theta.
Comentário de escolha: a decomposição em cilíndricas separa potências de r e funções angulares, e a simetria angular simplifica (termos ímpares em \sin\theta tendem a anular), por isso é a forma mais apropriada para calcular o integral.

Passo 5

Cálculo efetivo do numerador \iiint_{E} y^{2}\,dV em coordenadas cilíndricas.
Começamos por
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r^{4}\sin^{3}\theta + r^{3}\sin^{2}\theta\big)\,dr\,d\theta.
Separe os termos:
\iiint_{E} y^{2}\,dV=J_{1}+J_{2},
com
J_{1}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta,\qquad J_{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Calcule J_{1}. Como antes, as integrais se separam:
J_{1}=\left(\int_{0}^{1} r^{4}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\right).
Temos \displaystyle\int_{0}^{1} r^{4}\,dr=\frac{1}{5}. E \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=0 porque \sin^{3}\theta é função ímpar em torno de \pi e integra-se a zero no período completo. Assim J_{1}=0.
Calcule J_{2}:
J_{2}=\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right).
Aqui \displaystyle\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}. E \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi (porque \sin^{2}\theta=\tfrac{1-\cos(2\theta)}{2} e a média sobre um período é 1/2, logo integral sobre 0 a 2\pi é 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi). Portanto
J_{2}=\frac{1}{4}\cdot \pi=\frac{\pi}{4}.
Logo o numerador é
\iiint_{E} y^{2}\,dV=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Cálculo da média de y^{2} e conclusão final.
Usando \operatorname{Vol}(E)=\pi (Passo 3) e \iiint_{E} y^{2}\,dV=\frac{\pi}{4} (Passo 5), obtemos
\text{média}(y^{2})=\frac{1}{\operatorname{Vol}(E)}\iiint_{E} y^{2}\,dV=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4}.é
Breve comentário final (motivacional): escolhemos coordenadas cilíndricas porque a base é um disco e porque a simetria angular anulou termos complicados — é um truque que salva tempo na prova. Boa! Você já saiu do desespero com dois resultados simples.

Resposta

\operatorname{Vol}(E)=\pi
\text{média}(y^{2})=\dfrac{1}{4}é

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