Seja
a bola de raio
centrada na origem. Use coordenadas esféricas para calcular:
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral tripla
onde
é a bola de raio
centrada na origem. Informações dadas:
-
. - Queremos
. - O enunciado exige usar coordenadas esféricas.
Passo 2
Relembrando coordenadas esféricas e por que são úteis aqui. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis
com significado:
-
é a distância ao origem, . -
é o ângulo polar (ou colatitude), o ângulo entre o raio e o eixo , com . -
é o ângulo azimutal no plano , com .
As relações com coordenadas cartesianas são
O elemento de volume (jacobiano) em coordenadas esféricas é
Explicação curta do jacobiano: ao variar
um pequeno paralelepípedo tem dimensões aproximadas
,
e
, então o volume diferencial é o produto
.
Passo 3
Expressamos o integrando
em esféricas. Usando as relações acima:
Como
, temos
Multiplicando pelo fator do volume, o integrando total vira
Passo 4
Definimos os limites de integração para a bola
:
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
Portanto a integral vira
Como o integrando é produto de uma função só de
e outra só de
(e
não aparece), podemos separar as integrais:
Passo 5
Calcule a integral em
:
Isso é simples porque não há dependência de
.
Passo 6
Calcule a integral em
:
Queremos
Queremos
Usamos a identidade
. Faça a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora integramos polinomialmente:
Passo 7
Calcule a integral em
:
Passo 8
Combine todos os fatores obtidos:
Multiplicando os números:
logo o resultado final é