Seja B a bola de raio a centrada na origem. Use coordenadas esféricas para calcular:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral tripla
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV
onde B é a bola de raio a centrada na origem. Informações dadas:
  • B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\}.
  • Queremos \iiint_{B}(x^{2}+y^{2})\,dV.
  • O enunciado exige usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Relembrando coordenadas esféricas e por que são úteis aqui. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis (r,\theta,\varphi) com significado:
  • r é a distância ao origem, r\ge 0.
  • \theta é o ângulo polar (ou colatitude), o ângulo entre o raio e o eixo z, com 0\le\theta\le\pi.
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\varphi<2\pi.
As relações com coordenadas cartesianas são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
O elemento de volume (jacobiano) em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Explicação curta do jacobiano: ao variar r,\theta,\varphi um pequeno paralelepípedo tem dimensões aproximadas dr, r\,d\theta e r\sin\theta\,d\varphi, então o volume diferencial é o produto dr\cdot(r\,d\theta)\cdot(r\sin\theta\,d\varphi)=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Expressamos o integrando (x^{2}+y^{2}) em esféricas. Usando as relações acima:
x^{2}+y^{2} = (r\sin\theta\cos\varphi)^{2} + (r\sin\theta\sin\varphi)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi).
Como \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1, temos
x^{2}+y^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo fator do volume, o integrando total vira
(x^{2}+y^{2})\,dV = r^{2}\sin^{2}\theta \cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^{4}\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Definimos os limites de integração para a bola B:
  • r varia de 0 até a.
  • \theta varia de 0 até \pi.
  • \varphi varia de 0 até 2\pi.
Portanto a integral vira
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} r^{4}\sin^{3}\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Como o integrando é produto de uma função só de r e outra só de \theta (e \varphi não aparece), podemos separar as integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi \cdot \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta \cdot \int_{0}^{a} r^{4}\,dr.

Passo 5

Calcule a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Isso é simples porque não há dependência de \varphi.

Passo 6

Calcule a integral em \theta:
Queremos
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta). Faça a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0 temos u=\cos 0=1; quando \theta=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta = \int_{u=1}^{u=-1} (1-u^{2})(-du) = \int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora integramos polinomialmente:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du = \left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1-\frac{1}{3}\right) - \left(-1+\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}.

Passo 7

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{5}}{5}.

Passo 8

Combine todos os fatores obtidos:
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2})\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{a}r^{4}\,dr\right) = 2\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{a^{5}}{5}.
Multiplicando os números:
2\pi\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{8\pi}{15},
logo o resultado final é
\frac{8\pi a^{5}}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi a^{5}}{15}

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