Calcule em coordenadas cilíndricas, onde é a região limitada pelo plano xy, isto é, z=0, e pelo paraboloide z=x{2}+y{2} e pelo cilindro x^2+y^2=16 .

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em R^3 limitada pelo plano z=0, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=16. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região vem descrita por
0 <= r <= 4, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= r^2
Logo o volume é
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^4integralz=0^r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^r^2 r,dz = rl[zr]0^r^2 = rcdot r^2 = r^3
Isso reduz o volume a
V = integral0^2piintegral0^4 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r e depois em theta:
integral0^4 r^3,dr = [r^44]0^4 = 4^44 = 64,
V = integral0^2pi 64,dtheta = 64cdot 2pi = 128pi

Resposta

O volume da região é 128pi.

Exercícios relacionados