Calcule as coordenadas do \mathbf{C} no segmento AB com \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{B}(2,5), tal que 5 \overline{A B}=3 \overline{A C}+2 \overline{C B}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o ponto C sobre a reta que contém A(1,3) e B(2,5) de modo que
5\,\overrightarrow{AB} \;=\;3\,\overrightarrow{AC}+2\,\overrightarrow{CB}.
O conteúdo usado aqui é álgebra vetorial e divisão de segmentos pela relação entre vetores.

Passo 2

Escrevemos os vetores em função das coordenadas de A, B e C=(x,y):
\overrightarrow{AB}=(2-1,\;5-3)=(1,2),
\overrightarrow{AC}=(x-1,\;y-3),
\overrightarrow{CB}=(2-x,\;5-y).
Substituindo em
5\,\overrightarrow{AB}=3\,\overrightarrow{AC}+2\,\overrightarrow{CB}
fica
5(1,2)=3(x-1,y-3)+2(2-x,5-y).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
5(1,2)=(3x-3,\;3y-9)+(4-2x,\;10-2y)=(3x-3+4-2x,\;3y-9+10-2y)=(x+1,\;y+1).
Logo a equação vetorial é
(5,10)=(x+1,\;y+1).
Igualando coordenadas dá
x+1=5,\quad y+1=10
portanto
x=4,\quad y=9.

Passo 4

Concluímos que
C=(4,9).
Podemos notar que esse C não está estritamente entre A e B mas na reta que os prolonga, satisfazendo a relação vetorial dada.

Resposta

C=(4,9)

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