Sejam os pontos \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{C}(2,5). Determine as coordenadas de um ponto B tal que B divida o segmento AC nas seguintes proporções:
\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}}=\frac{4}{3}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os pontos A(1,3) e C(2,5) e queremos encontrar um ponto B que divida internamente o segmento AC na razão
\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{4}{3}.
O conteúdo principal é a fórmula de seção interna em coordenadas.

Passo 2

Em geral, se um ponto R divide internamente o segmento que liga P(x_1,y_1) a Q(x_2,y_2) na razão
PR : RQ \;=\; m : n,
então
R \;=\;\biggl(\frac{n\,x_1 + m\,x_2}{m+n},\;\frac{n\,y_1 + m\,y_2}{m+n}\biggr).

Passo 3

Aqui temos P=A, Q=C, m=4, n=3, com
x_A=1,\;y_A=3,\quad x_C=2,\;y_C=5.
Aplicando a fórmula:
x_B = \frac{3\cdot 1 + 4\cdot 2}{3+4} = \frac{3 + 8}{7} = \frac{11}{7}, \qquad y_B = \frac{3\cdot 3 + 4\cdot 5}{3+4} = \frac{9 + 20}{7} = \frac{29}{7}.

Passo 4

Portanto, o ponto B que divide AC na razão 4:3 tem coordenadas
B = \Bigl(\tfrac{11}{7},\,\tfrac{29}{7}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{11}{7},\frac{29}{7}\right)

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