Dois vértices de um triângulo A B C são os pontos A(2,-1) e B(5,3), e o seu baricentro é o ponto G(1,3). Podemos afirmar que o comprimento da mediana, relativa ao vértice C , mede:
a) \frac{3 \sqrt{41}}{2}
b) \frac{2 \sqrt{31}}{3}
c) 9
d) \frac{3 \sqrt{3}}{12}

Passo 1

O enunciado dá dois vértices A(2,-1), B(5,3) e o baricentro G(1,3) de um triângulo ABC. O conteúdo é coordenadas no plano e propriedades do baricentro (que é o ponto médio dos três vértices). Precisamos:
  1. Usar a definição de baricentro
  2. Achar C
  3. Determinar o ponto médio de AB
  4. Calcular o comprimento da mediana relativa a C (distância de C até o ponto médio de AB)

Passo 2

Pela definição de baricentro, as coordenadas satisfazem
\frac{x_A + x_B + x_C}{3} = x_G, \quad \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = y_G.
Substituindo A(2,-1), B(5,3), G(1,3), obtemos
\frac{2 + 5 + x_C}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 7 + x_C = 3 \quad\Longrightarrow\quad x_C = -4,
\frac{-1 + 3 + y_C}{3} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2 + y_C = 9 \quad\Longrightarrow\quad y_C = 7.
Logo C(-4,7).

Passo 3

O ponto médio M de AB tem coordenadas
M\Bigl(\tfrac{2+5}{2},\;\tfrac{-1+3}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{7}{2},\,1\Bigr).

Passo 4

A mediana relativa a C é o segmento CM. O vetor \overrightarrow{CM} vale
\Bigl(\tfrac{7}{2} - (-4),\;1 - 7\Bigr) = \Bigl(\tfrac{7}{2} + 4,\;-6\Bigr) = \Bigl(\tfrac{15}{2},\;-6\Bigr).
O comprimento é
\|CM\| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{15}{2}\Bigr)^2 + (-6)^2} = \sqrt{\frac{225}{4} + 36} = \sqrt{\frac{225 + 144}{4}} = \sqrt{\frac{369}{4}} = \frac{\sqrt{9\cdot 41}}{2} = \frac{3\sqrt{41}}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{3\sqrt{41}}{2}

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