Calcule, em coordenadas polares.
(c) integral0^4 integral0^raiz4 y-y^2 x^2 d x d y

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui. Precisamos calcular a integral dupla integral0^4 integral0^raiz4 y - y^2 x^2 , dx , dy usando coordenadas polares. Para isso, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Os limites de y vão de 0 a 4, e para cada y, x varia de 0 a raiz4y - y^2. Podemos reescrever raiz4y - y^2 = raizy(4 - y), o que sugere que a área é parte de um círculo.

Passo 3

Para converter para coordenadas polares, usamos as relações:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta. Substituindo x^2 na integral, temos:
x^2 = (r costheta)^2 = r^2 cos^2theta
Então, a integral fica:
integral integral r^2 cos^2theta cdot r , dr , dtheta = integral integral r^3 cos^2theta , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de r e theta na região de integração. Observando a equação x^2 + (y - 2)^2 = 4, percebemos que é um círculo de raio 2 centrado no ponto (0, 2).

Passo 5

Para expressar esse círculo em coordenadas polares, substituímos x e y:
(r costheta)^2 + (r sintheta - 2)^2 = 4
Simplificando:
r^2 - 4r sintheta = 0 Rightarrow r = 4 sintheta
Então, para cada theta, r varia de 0 a 4 sintheta. O ângulo theta varia de 0 a pi para cobrir toda a região.

Passo 6

Agora, substituímos os limites na integral:
integral0^pi integral0^4 sintheta r^3 cos^2theta , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^4 sintheta r^3 , dr = [r^44]0^4 sintheta = (4 sintheta)^44 = 64 sin^4theta
Então, a integral fica:
integral0^pi 64 sin^4theta cos^2theta , dtheta

Passo 7

Para resolver integral0^pi sin^4theta cos^2theta , dtheta, usamos identidades trigonométricas ou tabelas de integrais. Sabemos que:
integral0^pi sin^4theta cos^2theta , dtheta = 3pi16
Multiplicando pelo 64:
64 cdot 3pi16 = 12pi

Resposta

A integral vale 12pi.

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