Calcule, em coordenadas polares.
(c)
(c)
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui. Precisamos calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Para isso, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Os limites de
vão de 0 a 4, e para cada
,
varia de 0 a
. Podemos reescrever
, o que sugere que a área é parte de um círculo.
Passo 3
Para converter para coordenadas polares, usamos as relações:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
. Substituindo
na integral, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de
e
na região de integração. Observando a equação
, percebemos que é um círculo de raio 2 centrado no ponto
.
Passo 5
Para expressar esse círculo em coordenadas polares, substituímos
e
:
Simplificando:
Então, para cada
,
varia de 0 a
. O ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a região.
Passo 6
Agora, substituímos os limites na integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver
, usamos identidades trigonométricas ou tabelas de integrais. Sabemos que:
Multiplicando pelo 64:
Resposta
A integral vale
.