Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(d) z=11+y^2, x=0, x=2, y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica sob a superfície
z = 11+y^2
e sobre a região do plano xy limitada por x=0, x=2 e y>=0.
O conteúdo envolvido é o uso de integrais duplas (ou dupla integral imprópria) para calcular volume sob uma superfície.

Passo 2

Para encontrar o volume, representamos
V = integral duplaR 11+y^2 ,dA,
onde
R = (x,y)mid 0 <= x <= 2,; y>=0
Como R é ilimitada em y, teremos uma integral imprópria em y.

Passo 3

Aplicando Fubini, escrevemos
V = integraly=0^infty!integralx=0^2 11+y^2,dx,dy
Primeiro integramos em x, tratando y como constante:
integralx=0^2 11+y^2,dx = 11+y^2l[xr]0^2 = 21+y^2

Passo 4

Agora o volume fica
V = integraly=0^infty 21+y^2,dy = 2 integral0^infty 11+y^2,dy
Sabemos que
integral0^infty 11+y^2,dy = l[arctan(y)r]0^infty = pi2

Passo 5

Substituindo,
V = 2 cdot pi2 = pi

Resposta

pi

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