1-4. Encontre Du f em P.
  1. f(x, y)=(1+x y)^32 ; P(1,3) ; u=1raiz2 l+1raiz2 j
  2. f(x, y)=e^2 x y ; P(3,1) ; u=-35 1+45 j
  3. f(x, y, z)=4 x^5 y^2 z^3 ; P(2,-1,1) ; u=13 l+23 l-23 k
  4. f(x, y, z)=ln (x^2+2 y^2+3 z^2) ; P(-1,2,4) ; u=-313 i-413 j-1213 k

Passo 1

O enunciado pede para, em cada item, encontrar a derivada direcional D_{mathbf{u}}f em P. O conteúdo usado é derivada direcional em função de múltiplas variáveis: primeiro calculamos o gradiente nabla f, depois fazemos o produto escalar nabla f(P)cdotu.

Passo 2

Para f(x,y)=(1+xy)^{3/2}, temos
nabla f(x,y)=l(32(1+xy)^1/2,y;, 32(1+xy)^1/2,xr)
Em P(1,3) isso vira nabla f(1,3)=(9,3). Como u=(1/raiz2,1/raiz2),
$$D_{\mathbf{u}}f(1,3)=(9,3)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)=\frac{9+3}{\sqrt2}=6\sqrt2.
$$

Passo 3

Para f(x,y)=e^{2xy}, calculamos
$$\nabla f(x,y)=(2y e^{2xy},;2x e^{2xy}).
nabla f(x,y)=(2y e^2xy,;2x e^2xy) áD_{\mathbf{u}}f(3,1)=(2e6,6e6)\cdot(-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5})=\frac{-6e6+24e6}{5}=\frac{18}{5}e^6.
$$

Passo 4

Para f(x,y,z)=4x5y2z^3, obtemos
$$\nabla f=(20x4y2z3,;8x5y z3,;12x5y2z2).
nabla f=(20x^4y^2z^3,;8x^5y z^3,;12x^5y^2z^2) éD_{\mathbf{u}}f(2,-1,1)=(320,-256,384)\cdot(\tfrac13,\tfrac23,-\tfrac23)=-320.
$$

Passo 5

Para f(x,y,z)=\ln(x2+2y2+3z^2),
$$\nabla f=\bigl(\frac{2x}{x2+2y2+3z2},;\frac{4y}{x2+2y2+3z2},;\frac{6z}{x2+2y2+3z^2}\bigr).
nabla f=l(2xx^2+2y^2+3z^2,;4yx^2+2y^2+3z^2,;6zx^2+2y^2+3z^2r) D_{\mathbf{u}}f§=(-\tfrac{2}{57},\tfrac{8}{57},\tfrac{24}{57})\cdot(-\tfrac{3}{13},-\tfrac{4}{13},-\tfrac{12}{13})=-\frac{314}{741}.
$$

Resposta

(1) 6\sqrt2;
(2) \tfrac{18}{5}e^6;
(3) -320;
(4) -\tfrac{314}{741}.

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