1-4. Encontre
em
.
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Passo 1
O enunciado pede para, em cada item, encontrar a derivada direcional D_{mathbf{u}}f em P. O conteúdo usado é derivada direcional em função de múltiplas variáveis: primeiro calculamos o gradiente
, depois fazemos o produto escalar
.
Passo 2
Para f(x,y)=(1+xy)^{3/2}, temos
Em P(1,3) isso vira
. Como
,
$$D_{\mathbf{u}}f(1,3)=(9,3)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)=\frac{9+3}{\sqrt2}=6\sqrt2.
$$
Passo 3
Para f(x,y)=e^{2xy}, calculamos
$$\nabla f(x,y)=(2y e^{2xy},;2x e^{2xy}).
$$
Passo 4
Para f(x,y,z)=4x5y2z^3, obtemos
$$\nabla f=(20x4y2z3,;8x5y z3,;12x5y2z2).
$$
Passo 5
Para f(x,y,z)=\ln(x2+2y2+3z^2),
$$\nabla f=\bigl(\frac{2x}{x2+2y2+3z2},;\frac{4y}{x2+2y2+3z2},;\frac{6z}{x2+2y2+3z^2}\bigr).
$$
Resposta
(1) 6\sqrt2;
(2) \tfrac{18}{5}e^6;
(3) -320;
(4) -\tfrac{314}{741}.
(2) \tfrac{18}{5}e^6;
(3) -320;
(4) -\tfrac{314}{741}.