Calcule as seguintes integrais:
integral cos ^7 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos^7x,dx
O conteúdo aqui é integração de potências ímpares de cosseno, e a ideia é usar a identidade cos^2x=1-sin^2x para fatorar um cos x isolado e então aplicar a substituição u=sin x.

Passo 2

Escrevemos
cos^7x = cos^6x;cos x = l(cos^2xr)^3cos x = l(1-sin^2xr)^3cos x
Fazendo a substituição
u = sin x, du = cos x,dx,
a integral vira
integral cos^7x,dx = integral l(1-u^2r)^3,du

Passo 3

Expandindo o polinômio temos
(1 - u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6
Logo
integral (1-u^2)^3,du = integral l(1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6r),du = u - u^3 + 35u^5 - 17u^7 + C

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u=sin x, obtemos
integral cos^7x,dx = sin x - sin^3x + 35sin^5x - 17sin^7x + C

Resposta

boxedsin x - sin^3x + 35sin^5x - 17sin^7x + C

Exercícios relacionados