Calcule por coordenadas polares a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular
. A região
é limitada pelas circunferências
e
. Esse tipo de problema entra na categoria de Cálculo Multivariado, mais especificamente em Coordenadas Polares. Vamos precisar transformar a integral em coordenadas polares para facilitar a resolução, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que o raio faz com o eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas
e polares
são:
E a área diferencial
em polares é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região
em coordenadas polares. A função
em polares fica:
A região
está entre as circunferências de raio 1 e 3, ou seja,
. E como estamos lidando com círculos completos,
varia de
a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral dupla, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a
, e depois em relação a
.
Passo 5
Vamos focar na integral interna:
Aqui, fazemos uma substituição simples para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Agora, avaliamos os limites de
de 1 a 3:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
de 0 a
é simplesmente
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.