Calcule por coordenadas polares a integral dupla
integral duplaR e^x^2+y^2 d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular integral duplaR e^x^2+y^2 , dA. A região R é limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Esse tipo de problema entra na categoria de Cálculo Multivariado, mais especificamente em Coordenadas Polares. Vamos precisar transformar a integral em coordenadas polares para facilitar a resolução, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por (r, theta), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x.
As relações entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, theta) são:
x = r cos theta
y = r sin theta
E a área diferencial dA em polares é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites da região R em coordenadas polares. A função e^x^2+y^2 em polares fica:
e^x^2+y^2 = e^r^2
A região R está entre as circunferências de raio 1 e 3, ou seja, 1 <= r <= 3. E como estamos lidando com círculos completos, theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Substituindo tudo na integral dupla, temos:
integral duplaR e^x^2+y^2 , dA = integral0^2pi integral1^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar em relação a r, e depois em relação a theta.

Passo 5

Vamos focar na integral interna:
integral1^3 e^r^2 cdot r , dr
Aqui, fazemos uma substituição simples para facilitar a integração. Seja u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2.
Substituindo na integral:
integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Voltando para r:
12 e^r^2 + C
Agora, avaliamos os limites de r de 1 a 3:
12 ( e^9 - e^1 )

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 ( e^9 - e ) , dtheta = 12 ( e^9 - e ) integral0^2pi dtheta
A integral de dtheta de 0 a 2pi é simplesmente 2pi, então:
12 ( e^9 - e ) cdot 2pi = pi ( e^9 - e )

Resposta

A integral dupla vale pi ( e^9 - e ).

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