Calcule o volume do conjunto dado. Faça o esboço do conjunto.
x+y+z <= 1, x >= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um conjunto definido pelas inequações $ x + y + z \leq 1 $, $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Estamos trabalhando com geometria espacial aqui, especificamente com a determinação do volume de um sólido no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas inequações delimitam o espaço e utilizar métodos de cálculo de volume, como integrais ou fórmulas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada inequação representa:
  • $ x \geq 0 $: Estamos considerando apenas valores de $ x $ positivos ou iguais a zero.
  • $ y \geq 0 $: Da mesma forma, somente valores de $ y $ positivos ou zero.
  • $ z \geq 0 $: E também apenas valores de $ z $ positivos ou zero.
  • $ x + y + z \leq 1 $: A soma das coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ deve ser menor ou igual a 1.
Essas inequações definem um conjunto de pontos no espaço que estão no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) e abaixo do plano $ x + y + z = 1 $.

Passo 3

Vamos esboçar esse conjunto para visualizar melhor. Imagine o espaço tridimensional com os eixos $ x $, $ y $ e $ z $. As inequações $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $ limitam nosso conjunto ao primeiro octante. A inequação $ x + y + z \leq 1 $ define um plano que corta os eixos $ x $, $ y $ e $ z $ nos pontos $ (1,0,0) $, $ (0,1,0) $ e $ (0,0,1) $, formando um tetraedro com vértices nesses pontos e na origem $ (0,0,0) $.

Passo 4

Agora, para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro com vértices na origem e em $ (a,0,0) $, $ (0,b,0) $ e $ (0,0,c) $:
(a,0,0)
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = 1 $, já que os cortes do plano ocorrem nos pontos $ (1,0,0) $, $ (0,1,0) $ e $ (0,0,1) $.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
V = 1 times 1 times 16 = 16
Portanto, o volume do conjunto definido pelas inequações dadas é $ \frac{1}{6} $ unidades cúbicas.

Resposta

O volume do conjunto é $ \frac{1}{6} $ unidades cúbicas.

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