13- Calcule por coordenadas polares a integral dupla
integral duplaR e^x^2+y^2 d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR e^x^2+y^2,dA
onde R é a coroa circular entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Como o integrando só depende de x^2+y^2, é natural usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2,
o elemento de área é dA = r,dr,dtheta, e a região R vira
1 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi
Logo a integral fica
integraltheta=0^2pi!integralr=1^3 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Como o integrando se separa, escrevemos
integral0^2pidtheta ;times;integral1^3r,e^r^2,dr ;=; 2pi;integral1^3r,e^r^2,dr

Passo 4

Para calcular integral1^3r,e^r^2,dr use a substituição
u = r^2, du = 2r,dr Longrightarrow r,dr = du2
Assim
integral1^3r,e^r^2,dr = 12integralu=1^2^3^2e^u,du = 12l(e^9-e^1r) = e^9-e2

Passo 5

Multiplicando por 2pi temos
2pi times e^9-e2 = pil(e^9-er)

Resposta

pil(e^9-er)

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