O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O ponto em que
está decrescendo mais rápido é:
○ 8
- não existe
○
○
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
O ponto em que
○ 8
○
○
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
para a função
de modo que:
- A função intersecta o eixo
em 5. Isso significa que quando , . - A função tem um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, o que está relacionado à segunda derivada.
Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função intersecta o eixo
em 5. Isso acontece quando
.
Substituindo
na função:
Queremos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
sabendo que há um ponto de inflexão em
.
Para encontrar pontos de inflexão, analisamos a segunda derivada da função e igualamos a zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Calculando a derivada dentro:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Para ter um ponto de inflexão em
, a segunda derivada deve ser zero nesse ponto:
Como
nunca é zero, basta igualar a outra parte a zero:
Fatorando:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
→ (não é o ponto de inflexão que buscamos) -
→ →
Substituindo
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos analisar o comportamento da função e responder à afirmação sobre onde a função está decrescendo mais rápido.
A derivada primeira é:
Para que a função esteja decrescendo mais rápido, queremos o ponto onde a derivada
é mais negativa, ou seja, mínima.
Vamos analisar a derivada segunda:
Simplificando:
Para encontrar onde a função está decrescendo mais rápido, buscamos o ponto onde a derivada segunda muda de sinal, o que ocorre em
.
Resposta
0