O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O ponto em que f está decrescendo mais rápido é:
○ 8
  • não existe
    circ 0
    12 raiz3
    -12 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de b e c para a função f(x) = b - 10x e^-cx^2-5 de modo que:
  1. A função intersecta o eixo y em 5. Isso significa que quando x = 0 , f(x) = 5 .
  2. A função tem um ponto de inflexão em x = 4raiz3 . Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, o que está relacionado à segunda derivada.
Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função intersecta o eixo y em 5. Isso acontece quando x = 0 .
Substituindo x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b
Queremos que f(0) = 5 , então:
b = 5

Passo 3

Agora, precisamos encontrar c sabendo que há um ponto de inflexão em x = 4raiz3 .
Para encontrar pontos de inflexão, analisamos a segunda derivada da função e igualamos a zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx ( 5 - 10x e^-c x^2 -5 ) = -10 cdot e^-c x^2 -5 + (-10x) cdot ddx ( e^-c x^2 -5 )
Calculando a derivada dentro:
ddx ( e^-c x^2 -5 ) = e^-c x^2 -5 cdot (-2c x)
Então, substituindo de volta:
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + (-10x)(-2c x) e^-c x^2 -5 = -10 e^-c x^2 -5 + 20c x^2 e^-c x^2 -5
Simplificando:
f'(x) = e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2)
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx ( e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2) )
Aplicando a regra do produto:
f''(x) = e^-c x^2 -5 cdot ddx (-10 + 20c x^2) + (-10 + 20c x^2) cdot ddx ( e^-c x^2 -5 )
Calculando as derivadas:
ddx (-10 + 20c x^2) = 40c x
ddx ( e^-c x^2 -5 ) = e^-c x^2 -5 cdot (-2c x)
Substituindo:
f''(x) = e^-c x^2 -5 (40c x) + (-10 + 20c x^2) (-2c x) e^-c x^2 -5
Fatorando e^-c x^2 -5 :
f''(x) = e^-c x^2 -5 [40c x + (20c x^2 -10)(-2c x)]
Simplificando dentro dos colchetes:
40c x + (-40c^2 x^3 + 20c x)
= (40c x + 20c x) - 40c^2 x^3
= 60c x - 40c^2 x^3
Então:
f''(x) = e^-c x^2 -5 (60c x - 40c^2 x^3)
Para ter um ponto de inflexão em x = 4raiz3 , a segunda derivada deve ser zero nesse ponto:
f''(4raiz3) = 0
Como e^-c x^2 -5 nunca é zero, basta igualar a outra parte a zero:
60c x - 40c^2 x^3 = 0
Fatorando:
20c x (3 - 2c x^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 20c x = 0 x = 0 (não é o ponto de inflexão que buscamos)
  2. 3 - 2c x^2 = 0 3 = 2c x^2 c = 32x^2
Substituindo x = 4raiz3 :
c = 32 (4raiz3)^2 = 32 cdot 16 cdot 3 = 396 = 132

Passo 4

Agora que temos b = 5 e c = 132 , vamos analisar o comportamento da função e responder à afirmação sobre onde a função está decrescendo mais rápido.
A derivada primeira é:
f'(x) = e^-132 x^2 -5 (-10 + 2032 x^2) = e^-132 x^2 -5 ( -10 + 58 x^2 )
Para que a função esteja decrescendo mais rápido, queremos o ponto onde a derivada f'(x) é mais negativa, ou seja, mínima.
Vamos analisar a derivada segunda:
f''(x) = e^-132 x^2 -5 ( 60 cdot 132 x - 40 cdot ( 132 )^2 x^3 ) = e^-132 x^2 -5 ( 6032 x - 401024 x^3 )
Simplificando:
f''(x) = e^-132 x^2 -5 ( 158 x - 5128 x^3 )
Para encontrar onde a função está decrescendo mais rápido, buscamos o ponto onde a derivada segunda muda de sinal, o que ocorre em x = 0 .

Resposta

0

Exercícios relacionados