Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação diferencial
y(t)=rt^3-3 e y^prime+t y^2=0

Passo 1

O enunciado pede valores de r tais que a função
y(t)=rt^3-3
satisfaça a equação diferencial de primeira ordem
y'(t)+t,y(t)^2=0
Vamos usar cálculo de derivada e substituição na EDO para obter uma condição sobre r.

Passo 2

Calculamos a derivada de
y(t)=rt^3-3
Como r é constante, usamos a regra do quociente ou a forma l(u^-1r)'. Assim,
y'(t) =;r;ddtl(t^3-3r)^-1 =-r,(t^3-3)^-2cdot 3t^2 =-3r,t^2(t^3-3)^2
Além disso,
y(t)^2 =r^2(t^3-3)^2,
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t,y(t)^2 =r^2,t(t^3-3)^2

Passo 3

Substituindo y'(t) e t,y^2 na EDO y'+t,y^2=0, obtemos
-3r,t^2(t^3-3)^2 ;+;r^2,t(t^3-3)^2 ;=;0
Colocando sobre um único denominador:
-3r,t^2+r^2,t(t^3-3)^2=0 Longrightarrow -3r,t^2+r^2,t=0

Passo 4

O numerador deve ser identicamente zero para todo t no domínio:
-3r,t^2+r^2,t =r,t,(r-3t)=0
Como isso tem de valer para qualquer t (em particular para tneq0), a única forma de anular r,t,(r-3t) em toda uma vizinhança é forçar
r=0
Não há outra escolha de r constante que zere esse produto para todo t.

Resposta

r = 0

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