O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O valor mínimo de
é:
O não existe
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
O valor mínimo de
O não existe
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos encontrar os valores de
e
de forma que essa função:
- Passe pelo ponto onde ela intersecta o eixo
em . - Tenha um ponto de inflexão em
.
Além disso, depois de encontrar
e
, vamos analisar o comportamento dessa função e determinar o valor mínimo de
a partir das opções fornecidas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como avaliação de função, derivadas e análise de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
usando a informação de que a função intersecta o eixo
em 5. Quando uma função intersecta o eixo
, isso acontece em
. Então, vamos substituir
na função:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora que temos
, vamos usar a informação do ponto de inflexão em
para encontrar
. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, sabemos que no ponto de inflexão
,
. Então:
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Assim,
ou
. Como
não faz sentido na equação original (eliminaria a variável no expoente), temos:
Passo 4
Agora que encontramos
e
, vamos substituir esses valores na função original:
Queremos encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos analisar a primeira derivada
:
Para encontrar os pontos críticos, definimos
:
Vamos verificar se esses pontos são mínimos ou máximos usando a segunda derivada ou analisando o comportamento da função. Contudo, dado que a função tem uma componente exponencial decrescente e o termo quadrático positivo, o ponto
será um mínimo local.
Agora, substituímos
na função para encontrar o valor mínimo:
Simplificando a expressão exponencial:
Resposta
O valor mínimo de
é
.