O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O valor mínimo de f é:
O não existe
5-40e^11 / 2
5-10 e^5 / 2
5+10 raiz2 e^5 / 2
5+40e^11 / 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f(x) = b - 10x e^-c x^2-5 e precisamos encontrar os valores de b e c de forma que essa função:
  1. Passe pelo ponto onde ela intersecta o eixo y em y = 5 .
  2. Tenha um ponto de inflexão em x = 4raiz3 .
Além disso, depois de encontrar b e c , vamos analisar o comportamento dessa função e determinar o valor mínimo de f a partir das opções fornecidas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como avaliação de função, derivadas e análise de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de b usando a informação de que a função intersecta o eixo y em 5. Quando uma função intersecta o eixo y , isso acontece em x = 0 . Então, vamos substituir x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b
Sabemos que f(0) = 5 , então:
b = 5

Passo 3

Agora que temos b = 5 , vamos usar a informação do ponto de inflexão em x = 4raiz3 para encontrar c . Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx(5 - 10x e^-c x^2 -5) = -10 e^-c x^2 -5 + 10x cdot 2c x e^-c x^2 -5 = -10 e^-c x^2 -5 + 20c x^2 e^-c x^2 -5
Simplificando:
f'(x) = e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2)
Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2))
Usando a regra do produto:
f''(x) = (-2c x) e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2) + e^-c x^2 -5 (40c x)
Simplificando:
f''(x) = e^-c x^2 -5 [ (-2c x)(-10 + 20c x^2) + 40c x ]
f''(x) = e^-c x^2 -5 [ 20c x - 40c^2 x^3 + 40c x ]
f''(x) = e^-c x^2 -5 [ 60c x - 40c^2 x^3 ]
Agora, sabemos que no ponto de inflexão x = 4raiz3 , f''(4raiz3) = 0 . Então:
60c (4raiz3) - 40c^2 (4raiz3)^3 = 0
Vamos resolver para c :
60c cdot 4raiz3 - 40c^2 cdot 64 cdot 3 raiz3 = 0
240c raiz3 - 7680c^2 raiz3 = 0
Dividindo ambos os lados por 240 raiz3 :
c - 32c^2 = 0
c(1 - 32c) = 0
Assim, c = 0 ou 1 - 32c = 0 . Como c = 0 não faz sentido na equação original (eliminaria a variável no expoente), temos:
1 - 32c = 0 implies c = 132

Passo 4

Agora que encontramos b = 5 e c = 132 , vamos substituir esses valores na função original:
f(x) = 5 - 10x e^-132 x^2 -5
Queremos encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos analisar a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = e^-132 x^2 -5 (-10 + 20 cdot 132 x^2) = e^-132 x^2 -5 (-10 + 58 x^2)
Para encontrar os pontos críticos, definimos f'(x) = 0 :
-10 + 58 x^2 = 0 implies 58 x^2 = 10 implies x^2 = 16 implies x = pm 4
Vamos verificar se esses pontos são mínimos ou máximos usando a segunda derivada ou analisando o comportamento da função. Contudo, dado que a função tem uma componente exponencial decrescente e o termo quadrático positivo, o ponto x = 4 será um mínimo local.
Agora, substituímos x = 4 na função para encontrar o valor mínimo:
f(4) = 5 - 10 cdot 4 cdot e^-132 cdot 16 -5 = 5 - 40 e^-12 -5 = 5 - 40 e^-5.5
Simplificando a expressão exponencial:
f(4) = 5 - 40e^5.5

Resposta

O valor mínimo de f é 5 - 40e^11 / 2 .

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