Calcule as coordenadas dos vetores
nas seguintes situações:
,
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as coordenadas dos vetores
e
. As informações dadas são:
e
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor
sobre outro vetor
. A projeção de
sobre
é o vetor em direção a
que representa a componente de
alinhada com
. A fórmula é:
Explicando cada parte:
-
é o produto interno (ou produto escalar) entre e . -
é o quadrado da norma de , ou seja . - O quociente
é um escalar que nos diz quanto de compõe . Multiplicando esse escalar por obtemos o vetor projeção.
Também lembro a definição do produto escalar em coordenadas em
:
onde
e
.
Passo 3
Calculemos os produtos escalares necessários entre
e
.
Primeiro,
Depois,
E
Passo 4
Agora calculamos
usando a fórmula:
Substituindo os valores que já encontramos (
e
):
Como
, temos
Passo 5
Agora calculamos
:
Substituindo
e
:
Como
, multiplica-se o escalar:
Passo 6
Uma checagem rápida para ganhar confiança: o vetor residual
deve ser ortogonal a
. Calculando:
E o produto escalar com
é
ou seja, é ortogonal, como esperado. Isso confirma que os cálculos estão corretos.