Calcule as coordenadas dos vetores operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}) nas seguintes situações:
\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(3,-4),

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as coordenadas dos vetores \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}). As informações dadas são:
\vec{a}=(1,0) e \vec{b}=(3,-4).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da projeção de um vetor \vec{u} sobre outro vetor \vec{v}. A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é o vetor em direção a \vec{v} que representa a componente de \vec{u} alinhada com \vec{v}. A fórmula é:
\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Explicando cada parte:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto interno (ou produto escalar) entre \vec{u} e \vec{v}.
  • \vec{v}\cdot\vec{v} é o quadrado da norma de \vec{v}, ou seja |\vec{v}|^2.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um escalar que nos diz quanto de \vec{v} compõe \vec{u}. Multiplicando esse escalar por \vec{v} obtemos o vetor projeção.
Também lembro a definição do produto escalar em coordenadas em \mathbb{R}^2:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2,
onde \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2).

Passo 3

Calculemos os produtos escalares necessários entre \vec{a} e \vec{b}.
Primeiro,
\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 3 + 0\cdot(-4) = 3.
Depois,
\vec{a}\cdot\vec{a} = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
E
\vec{b}\cdot\vec{b} = 3\cdot 3 + (-4)\cdot(-4) = 9 + 16 = 25.

Passo 4

Agora calculamos \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) usando a fórmula:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.
Substituindo os valores que já encontramos ( \vec{b}\cdot\vec{a}=3 e \vec{a}\cdot\vec{a}=1):
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{3}{1}\,\vec{a} = 3\,\vec{a}.
Como \vec{a}=(1,0), temos
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = 3\,(1,0) = (3,0).

Passo 5

Agora calculamos \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}):
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}.
Substituindo \vec{a}\cdot\vec{b}=3 e \vec{b}\cdot\vec{b}=25:
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{3}{25}\,\vec{b}.
Como \vec{b}=(3,-4), multiplica-se o escalar:
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{3}{25}\,(3,-4) = \left(\frac{9}{25},-\frac{12}{25}\right).

Passo 6

Uma checagem rápida para ganhar confiança: o vetor residual \vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) deve ser ortogonal a \vec{a}. Calculando:
\vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = (3,-4)-(3,0)=(0,-4).
E o produto escalar com \vec{a}=(1,0) é
(0,-4)\cdot(1,0)=0\cdot 1 + (-4)\cdot 0 = 0,
ou seja, é ortogonal, como esperado. Isso confirma que os cálculos estão corretos.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=(3,0)
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\left(\dfrac{9}{25},-\dfrac{12}{25}\right)

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