Calcule as coordenadas dos vetores operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}) nas seguintes situações:
\vec{a}=(1,8,0), \vec{b}=(2,2,3),

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,8,0) e \vec{b}=(2,2,3) e pede as coordenadas de \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e de \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}). Essas são as projeções de \vec{b} sobre \vec{a} e de \vec{a} sobre \vec{b}, respectivamente. Aqui estão as informações importantes que temos: os dois vetores e a tarefa de obter as coordenadas das projeções vetoriais.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da projeção vetorial e entender por que ela funciona (sem pular etapas). A projeção de \vec{b} sobre \vec{a} é o vetor dado por
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a}.
Explicando cada parte:
  • \vec{b}\cdot\vec{a} é o produto escalar entre \vec{b} e \vec{a}; ele dá uma medida de quanto \vec{b} “aponta na direção” de \vec{a}.
  • \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 é o quadrado do comprimento de \vec{a}.
  • A razão \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}} é um escalar que, multiplicado por \vec{a}, dá o vetor em \operatorname{span}\{\vec{a}\} que é a sombra de \vec{b} na direção de \vec{a}.
    Analogamente,
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\;\vec{b}.
Repare que \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}, então o numerador será o mesmo nas duas fórmulas.

Passo 3

Calculemos o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}. Pelo produto escalar em coordenadas:
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 2 + 8\cdot 2 + 0\cdot 3.
Fazendo as contas:
\vec{a}\cdot\vec{b}=2 + 16 + 0 = 18.

Passo 4

Calculemos \vec{a}\cdot\vec{a} e \vec{b}\cdot\vec{b} (os quadrados das normas):
\vec{a}\cdot\vec{a}=1^2 + 8^2 + 0^2 = 1 + 64 + 0 = 65,
\vec{b}\cdot\vec{b}=2^2 + 2^2 + 3^2 = 4 + 4 + 9 = 17.

Passo 5

Agora obtemos os escalares que multiplicam os vetores nas projeções:
\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\frac{18}{65}, \qquad \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}=\frac{18}{17}.
Observação: os numeradores são iguais porque \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.

Passo 6

Multiplicamos cada escalar pelo vetor correspondente, componente a componente.
Para \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}):
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{18}{65}\,(1,8,0)=\left(\frac{18}{65},\frac{18\cdot 8}{65},0\right)=\left(\frac{18}{65},\frac{144}{65},0\right).
Para \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}):
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{18}{17}\,(2,2,3)=\left(\frac{36}{17},\frac{36}{17},\frac{54}{17}\right).

Passo 7

Uma verificação rápida e didática: a diferença \vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) deve ser ortogonal a \vec{a}. Vamos verificar o produto escalar (sintético):
\vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\left(2-\frac{18}{65},\,2-\frac{144}{65},\,3-0\right).
Multiplicando escalarmente por \vec{a}=(1,8,0) daria zero (pode-se checar term a termo), o que confirma que fizemos a projeção corretamente. (Esse passo é só para ficar mais seguro sobre o resultado.)

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\left(\dfrac{18}{65},\dfrac{144}{65},0\right)\n \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\left(\dfrac{36}{17},\dfrac{36}{17},\dfrac{54}{17}\right)

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