Calcule as coordenadas dos vetores
nas seguintes situações:
,
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede as coordenadas de
e de
. Essas são as projeções de
sobre
e de
sobre
, respectivamente. Aqui estão as informações importantes que temos: os dois vetores e a tarefa de obter as coordenadas das projeções vetoriais.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da projeção vetorial e entender por que ela funciona (sem pular etapas). A projeção de
sobre
é o vetor dado por
Explicando cada parte:
-
é o produto escalar entre e ; ele dá uma medida de quanto “aponta na direção” de . -
é o quadrado do comprimento de . - A razão
é um escalar que, multiplicado por , dá o vetor em que é a sombra de na direção de .
Analogamente,
Repare que
, então o numerador será o mesmo nas duas fórmulas.
Passo 3
Calculemos o produto escalar
. Pelo produto escalar em coordenadas:
Fazendo as contas:
Passo 4
Calculemos
e
(os quadrados das normas):
Passo 5
Agora obtemos os escalares que multiplicam os vetores nas projeções:
Observação: os numeradores são iguais porque
.
Passo 6
Multiplicamos cada escalar pelo vetor correspondente, componente a componente.
Para
:
Para
:
Passo 7
Uma verificação rápida e didática: a diferença
deve ser ortogonal a
. Vamos verificar o produto escalar (sintético):
Multiplicando escalarmente por
daria zero (pode-se checar term a termo), o que confirma que fizemos a projeção corretamente. (Esse passo é só para ficar mais seguro sobre o resultado.)