Considere a curva parametrizada por x=e^cos theta e y=e^sen theta.
(a) Elimine o parâmetro theta e escreva uma equação cartesiana para a curva.
(b) Determine o valor de d yd x em função de theta.
(c) Encontre os valores de theta que gerem tangentes horizontais ou verticais.
(d) Determine uma integral que forneça o comprimento da curva.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
x=e^costheta, y=e^sintheta
O conteúdo aqui é curvas paramétricas:
– Para (a) eliminamos o parâmetro usando logaritmo natural.
– Para (b) usamos a regra da cadeia e a definição dydx=dy/dthetadx/dtheta.
– Para (c) encontramos tangentes horizontais quando dy/dtheta=0 (e dx/dthetaneq0) e verticais quando dx/dtheta=0 (e dy/dthetaneq0).
– Para (d) usamos a fórmula do comprimento de arco
L=integraltheta1^theta2raizl(dx/dthetar)^2+l(dy/dthetar)^2,dtheta

Passo 2

Eliminando theta: aplique ln em cada expressão
ln x=costheta, ln y=sintheta
Como cos^2theta+sin^2theta=1, temos
(ln x)^2+(ln y)^2=1

Passo 3

Calcule as derivadas em função de theta:
dxdtheta =-e^costhetasintheta, dydtheta =e^sinthetacostheta
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dydx = e^sinthetacostheta -e^costhetasintheta =-e^sinthetacosthetae^costhetasintheta =-ycosthetaxsintheta

Passo 4

Tangentes horizontais: dy/dtheta=0 e dx/dthetaneq0
e^sinthetacostheta=0impliescostheta=0 impliestheta=pi2+kpi,;kinZ
Tangentes verticais: dx/dtheta=0 e dy/dthetaneq0
-e^costhetasintheta=0impliessintheta=0 impliestheta=kpi,;kinZ

Passo 5

Comprimento de arco de theta=a até theta=b:
L=integrala^b raizl(-e^costhetasinthetar)^2 +l(e^sinthetacosthetar)^2,dtheta =integrala^b raize^2costhetasin^2theta ;+;e^2sinthetacos^2theta;dtheta

Resposta

(a) (ln x)^2+(ln y)^2=1.
(b) dydx =-e^sinthetacosthetae^costhetasintheta =-ycosthetaxsintheta
(c) Tangentes horizontais em theta=tfracpi2+kpi. Tangentes verticais em theta=kpi.
(d) L=integrala^braize^2costhetasin^2theta+e^2sinthetacos^2theta,dtheta

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