Considere a curva parametrizada por
.
(a) Elimine o parâmetro
e escreva uma equação cartesiana para a curva.
(b) Determine o valor de
em função de
.
(c) Encontre os valores de
que gerem tangentes horizontais ou verticais.
(d) Determine uma integral que forneça o comprimento da curva.
(a) Elimine o parâmetro
(b) Determine o valor de
(c) Encontre os valores de
(d) Determine uma integral que forneça o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado define a curva paramétrica
O conteúdo aqui é curvas paramétricas:
– Para (a) eliminamos o parâmetro usando logaritmo natural.
– Para (b) usamos a regra da cadeia e a definição .
– Para (c) encontramos tangentes horizontais quando (e
) e verticais quando
(e
).
– Para (d) usamos a fórmula do comprimento de arco
– Para (a) eliminamos o parâmetro usando logaritmo natural.
– Para (b) usamos a regra da cadeia e a definição
– Para (c) encontramos tangentes horizontais quando
– Para (d) usamos a fórmula do comprimento de arco
Passo 2
Eliminando
: aplique
em cada expressão
Como
, temos
Passo 3
Calcule as derivadas em função de
:
Logo
Passo 4
Tangentes horizontais:
e
Tangentes verticais:
e
Passo 5
Comprimento de arco de
até
:
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Tangentes horizontais em . Tangentes verticais em
.
(d)
(b)
(c) Tangentes horizontais em
(d)