Calcule a integral dupla da função f(x, y)=24 x y sobre a região delimitada pelas retas x=1, x=2, y=x e y=x+1

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem que calcular a integral dupla da função f(x,y)=24xy numa região do plano delimitada pelas retas x=1, x=2, y=x e y=x+1. O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas e a gente vai precisar definir a ordem de integração e usar a integral iterada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a região de integração e montar a integral iterada. Como x varia de 1 até 2 e, para cada x, o y varia de y=x (fronteira inferior) até y=x+1 (fronteira superior), a integral fica assim:
integralx=1^2 integraly=x^x+1 24xy,dy,dx
Isso significa que a gente integra primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Agora, vamos fazer a integral interna em y. Tratamos x como constante e temos:
integraly=x^x+1 24xy,dy = 24x integraly=x^x+1 y,dy = 24x [y^22]y=x^x+1 = 12xl((x+1)^2 - x^2r)
Aqui usamos que integral y,dy = tfracy^22 e que constantes podem sair da integral.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
(x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1
Portanto, a integral interna vira 12x(2x+1) = 24x^2 + 12x.

Passo 5

Agora integramos em x de 1 a 2:
integralx=1^2 (24x^2 + 12x),dx = integral1^224x^2,dx + integral1^212x,dx = 24[x^33]1^2 + 12[x^22]1^2 = 8x^3|1^2 + 6x^2|1^2
Aqui usamos a regra de potência: integral x^n,dx = x^n+1n+1.

Passo 6

Por fim, avaliamos os valores nas fronteiras:
8x^3|1^2 = 8(2^3) - 8(1^3) = 64 - 8 = 56
6x^2|1^2 = 6(2^2) - 6(1^2) = 24 - 6 = 18
Somando dá 56 + 18 = 74.

Resposta

74

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