Calcule cos (1+i) e sin (1+i).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular
cos(1+i)esin(1+i)
Isso faz parte de Funções Trigonométricas de variável complexa. Para resolver, vamos precisar da definição de cos z e sin z via exponencial complexa e das identidades de hiperbólicas ( cosh e sinh).

Passo 2

Primeiro, lembrando as definições gerais para todo zinC:
cos z = e^iz + e^-iz2, sin z = e^iz - e^-iz2i
Aqui usamos que e^a+ib=e^a(cos b + isin b).

Passo 3

Agora, seja z = x + i y (com x,yinR).
  1. Para cos z:
    cos(x+iy) = e^i(x+iy) + e^-i(x+iy)2 = e^ix - y + e^-ix + y2
    Escrevendo e^ix=cos x + isin x e e^-ix=cos x - isin x, fica
    cos(x+iy) = e^-y(cos x + isin x) + e^y(cos x - isin x)2 = cos x!cdot!e^y+e^-y2 - isin x!cdot!e^y-e^-y2
    Mas cosh y=e^y+e^-y2 e sinh y=e^y-e^-y2.
    Logo
    boxedcos(x+iy)=cos xcosh y ;-; i,sin xsinh y
  2. Para sin z:
    sin(x+iy) = e^i(x+iy) - e^-i(x+iy)2i = e^ix - y - e^-ix + y2i
    De modo parecido, dá
    boxedsin(x+iy)=sin xcosh y ;+; i,cos xsinh y

Passo 4

Aplicando em x=1 e y=1:
Para cos(1+i):
cos(1+i) = cos1cosh1 ;-; i,sin1sinh1

Passo 5

Para sin(1+i):
sin(1+i) = sin1cosh1 ;+; i,cos1sinh1

Resposta

boxed cos(1+i)&=cos1cosh1 ;-; i,sin1sinh1, sin(1+i)&=sin1cosh1 ;+; i,cos1sinh1

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