Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja f(x) definida em x0, x1, ldots, xn,(n+1) pontos distintos de um intervalo [a, b]. Então, existe um único polinômio P(x) de grau menor ou igual a n tal que P(xi)=f(xi)=yi, i= 1,2, ldots, n.
Sugestão: Considere o polinômio de grau n
P(x)=a0+a1 x+a2 x^2+ldots an x^n
tal que P(xi)=f(xi)=yi, i=1,2, ldots, n. Substituindo x=xi, i=1,2, ldots n em P(x) obteremos um sistema linear A cdot X=B. Por fim, mostre que a solução deste sistema é única e conclua a existência e unicidade de P(x).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que, dados (n+1) pontos distintos (xi,yi) num intervalo, queremos provar que existe um só polinômio de grau que passa por todos eles. O conteúdo é básicamente interpolação polinomial via sistema linear (ou, quem preferir, inversão da matriz de Vandermonde). Para resolver, a gente vai:
  1. supor um polinômio genérico de grau com coeficientes desconhecidos;
  2. impor e montar um sistema linear;
  3. mostrar que esse sistema tem solução única porque a matriz é invertível (determinante de Vandermonde ≠ 0);
  4. concluir existência e unicidade.

Passo 2

Vamos dizer que
P(x)=a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n,
onde a0 + a1 xi + a2 xi^2 + cdots + an xi^n = yi são incógnitas. A condição (para ) vira:
Isso dá um sistema de equações lineares em incógnitas.

Passo 3

Escrevendo em forma matricial, temos
[
\underbrace{
underbrace 1 & x0 & x0^2 & cdots & x0^n 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^n vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^n A , a0a1vdotsan = y0y1vdotsyn
}_{A}
,
det(A) ;=;prod0<= i

.
]
Essa matriz é a famosa Vandermonde. A propriedade fundamental é que seu determinante é
Como todos são distintos, nenhum fator é zero, logo .

Passo 4

Matriz com determinante não nulo é invertível. Logo o sistema tem exatamente uma solução . Isso mostra ao mesmo tempo:
  • Existência: existe um conjunto de coeficientes resolvendo o sistema, ou seja, existe .
  • Unicidade: como a solução é única, não há outro polinômio de grau que faça para todos.

Resposta

Portanto, existe um único polinômio de grau que interpola os pontos .

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