Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em pontos distintos de um intervalo . Então, existe um único polinômio de grau menor ou igual a n tal que .
Sugestão: Considere o polinômio de grau n
tal que . Substituindo em obteremos um sistema linear . Por fim, mostre que a solução deste sistema é única e conclua a existência e unicidade de .
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que, dados pontos distintos num intervalo, queremos provar que existe um só polinômio de grau que passa por todos eles. O conteúdo é básicamente interpolação polinomial via sistema linear (ou, quem preferir, inversão da matriz de Vandermonde). Para resolver, a gente vai:
supor um polinômio genérico de grau com coeficientes desconhecidos;
impor e montar um sistema linear;
mostrar que esse sistema tem solução única porque a matriz é invertível (determinante de Vandermonde ≠ 0);
concluir existência e unicidade.
Passo 2
Vamos dizer que
onde são incógnitas. A condição (para ) vira:
Isso dá um sistema de equações lineares em incógnitas.
Passo 3
Escrevendo em forma matricial, temos
[
\underbrace{
}_{A}
, det(A) ;=;prod0<= i
.
]
Essa matriz é a famosa Vandermonde. A propriedade fundamental é que seu determinante é
Como todos são distintos, nenhum fator é zero, logo .
Passo 4
Matriz com determinante não nulo é invertível. Logo o sistema tem exatamente uma solução . Isso mostra ao mesmo tempo:
Existência: existe um conjunto de coeficientes resolvendo o sistema, ou seja, existe .
Unicidade: como a solução é única, não há outro polinômio de grau que faça para todos.
Resposta
Portanto, existe um único polinômio de grau que interpola os pontos .