Determine todas as raízes cúbicas de
.
Passo 1
Beleza, o problema é: “Determinar todas as raízes cúbicas de
.”
Isso faz parte de números complexos, mais especificamente de como achar raízes de um número complexo usando forma polar e o Teorema de De Moivre.
Para resolver, vamos precisar de:
Isso faz parte de números complexos, mais especificamente de como achar raízes de um número complexo usando forma polar e o Teorema de De Moivre.
Para resolver, vamos precisar de:
- Converter o número (no caso,
) pra forma polar . - Entender o Teorema de De Moivre, que nos diz como extrair raízes de um número em forma polar.
- Calcular os três valores correspondentes (com
).
Passo 2
Primeiro, transformar
em forma polar.
Como é real e positivo, o módulo é
Como
e o argumento (ângulo) é
Na prática, usamos
, pois já cobrimos as rotações ao adicionar
depois.
Passo 3
O Teorema de De Moivre para raízes diz que as soluções de
são
Aqui
é a raiz cúbica do módulo, e
distribui as soluções igualmente no círculo.
Passo 4
No nosso caso,
e
, então
Passo 5
Agora calculamos cada um:
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
As três raízes cúbicas de
são: