Determine todas as raízes cúbicas de z=8.

Passo 1

Beleza, o problema é: “Determinar todas as raízes cúbicas de .”
Isso faz parte de números complexos, mais especificamente de como achar raízes de um número complexo usando forma polar e o Teorema de De Moivre.
Para resolver, vamos precisar de:
  1. Converter o número (no caso, ) pra forma polar .
  2. Entender o Teorema de De Moivre, que nos diz como extrair raízes de um número em forma polar.
  3. Calcular os três valores correspondentes (com ).

Passo 2

Primeiro, transformar r = |8| = 8 em forma polar.
Como theta = 0 + 2pi n, ninZ é real e positivo, o módulo é
e o argumento (ângulo) é
Na prática, usamos , pois já cobrimos as rotações ao adicionar depois.

Passo 3

O Teorema de De Moivre para raízes diz que as soluções de wk = r^1/3,e^il(theta + 2pi k3r), k=0,1,2 são
Aqui é a raiz cúbica do módulo, e distribui as soluções igualmente no círculo.

Passo 4

No nosso caso, r^1/3 = 8^1/3 = 2, wk = 2,e^,i2pi k3, k=0,1,2 e , então

Passo 5

Agora calculamos cada um:
  • Para w0 = 2,e^icdot 0 = 2 : w1 = 2,e^i2pi3 = 2l(cos2pi3 + isin2pi3r) = 2l(-tfrac12 + itfracraiz32r) = -1 + iraiz3
  • Para w2 = 2,e^i4pi3 = 2l(cos4pi3 + isin4pi3r) = 2l(-tfrac12 - itfracraiz32r) = -1 - iraiz3 :
  • Para :

Resposta

As três raízes cúbicas de boxed2, -1 + iraiz3, -1 - iraiz3 são:

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