Calcule \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \cdot \cos \left(\frac{5 \pi}{7}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede para calcular o produto \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\cdot\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)\cdot\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right).
  • As três quantidades envolvidas são cossenos de ângulos racionais de \pi: \frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7} e \frac{5\pi}{7}.
  • Não há outros dados numéricos; tudo se resolve usando identidades trigonométricas e simetrias dos cossenos/senos.

Passo 2

Usar a simetria do cosseno para simplificar um dos fatores. Observação básica (fórmula de reflexão):
\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta).
Aplicando com \theta=\frac{2\pi}{7} obtemos
\cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right)=\cos\!\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=-\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right).
Logo o produto pedido vira
\cos\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{7}\right).

Passo 3

Agora vamos avaliar Q:=\cos\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{7}\right).
Usamos a identidade do ângulo duplo para o seno:
\sin(2x)=2\sin x\cos x \quad\Longrightarrow\quad \cos x=\frac{\sin(2x)}{2\sin x},
onde x é qualquer ângulo tal que \sin x\neq0. Aplicando essa fórmula para x=\frac{k\pi}{7} com k=1,2,3, obtemos
\cos\!\left(\frac{k\pi}{7}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{2k\pi}{7}\right)}{2\sin\!\left(\frac{k\pi}{7}\right)}.
Multiplicando as três igualdades para k=1,2,3,
Q=\prod_{k=1}^{3}\cos\!\left(\frac{k\pi}{7}\right) =\frac{\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{2k\pi}{7}\right)}{2^{3}\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{k\pi}{7}\right)}.

Passo 4

Verificamos agora que o numerador e o denominador da fração acima são, na verdade, o mesmo produto, apenas com termos permutados. Os termos do numerador são
\sin\!\left(\frac{2\pi}{7}\right),\quad \sin\!\left(\frac{4\pi}{7}\right),\quad \sin\!\left(\frac{6\pi}{7}\right).
Usamos as relações de seno no suplemento:
\sin\!\left(\frac{4\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{7}\right),
\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right).
Portanto
\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{2k\pi}{7}\right) =\sin\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)\sin\!\left(\frac{4\pi}{7}\right)\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}\right) =\sin\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)\sin\!\left(\frac{3\pi}{7}\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right) =\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{k\pi}{7}\right).
Substituindo essa igualdade na expressão de Q
Q=\frac{\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{k\pi}{7}\right)}{2^{3}\prod_{k=1}^{3}\sin\!\left(\frac{k\pi}{7}\right)}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}.

Passo 5

Voltando ao produto original, lembramos do sinal negativo do Passo 2. Assim
\cos\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{3\pi}{7}\right)\cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right) = - Q = - \frac{1}{8}.

Resposta

-\dfrac{1}{8}

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