Calcule
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede para calcular o produto
. - As três quantidades envolvidas são cossenos de ângulos racionais de
: , e . - Não há outros dados numéricos; tudo se resolve usando identidades trigonométricas e simetrias dos cossenos/senos.
Passo 2
Usar a simetria do cosseno para simplificar um dos fatores. Observação básica (fórmula de reflexão):
Aplicando com
obtemos
Logo o produto pedido vira
Passo 3
Agora vamos avaliar
.
Usamos a identidade do ângulo duplo para o seno:
Usamos a identidade do ângulo duplo para o seno:
onde
é qualquer ângulo tal que
. Aplicando essa fórmula para
com
, obtemos
Multiplicando as três igualdades para
,
Passo 4
Verificamos agora que o numerador e o denominador da fração acima são, na verdade, o mesmo produto, apenas com termos permutados. Os termos do numerador são
Usamos as relações de seno no suplemento:
Portanto
Substituindo essa igualdade na expressão de
dá
Passo 5
Voltando ao produto original, lembramos do sinal negativo do Passo 2. Assim