Calcule os cossenos diretores dos vetores dados abaixo:
b) \vec{v}=2 \vec{i}-3 \vec{j}-5 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede os cossenos diretores do vetor \vec v = 2\vec i - 3\vec j - 5\vec k. O conteúdo aqui é a definição de cossenos diretores, que são as razões entre cada componente do vetor e o módulo do vetor.

Passo 2

Calculemos o módulo de \vec v:
|\vec v| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}.

Passo 3

Pela definição, se \alpha, \beta e \gamma são os ângulos formados por \vec v com os eixos x, y e z, então
\cos\alpha = \dfrac{v_x}{|\vec v|},
\cos\beta = \dfrac{v_y}{|\vec v|} e
\cos\gamma = \dfrac{v_z}{|\vec v|}.
Substituindo v_x=2, v_y=-3, v_z=-5 e |\vec v|=\sqrt{38}, obtemos:
\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{38}},\quad \cos\beta = \frac{-3}{\sqrt{38}},\quad \cos\gamma = \frac{-5}{\sqrt{38}}.

Resposta

\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{38}}
\cos\beta = \dfrac{-3}{\sqrt{38}}
\cos\gamma = \dfrac{-5}{\sqrt{38}}

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