Calcule os cossenos diretores dos vetores dados abaixo:
a) \vec{u}=-\vec{i}+3 \vec{j}+4 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os cossenos diretores do vetor \vec{u} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}. O conteúdo envolvido é o conceito de cossenos diretores, que são as projeções normalizadas de cada componente do vetor em relação aos eixos cartesianos. Para isso, precisamos do módulo do vetor e depois dividir cada componente pelo módulo.

Passo 2

Para encontrar o módulo de \vec{u}, usamos a fórmula
\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}.
Aqui u_x = -1, u_y = 3 e u_z = 4, logo
\|\vec{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}.

Passo 3

Os cossenos diretores \cos\alpha, \cos\beta e \cos\gamma (ângulos com os eixos x, y e z, respectivamente) são dados por
\cos\alpha = \frac{u_x}{\|\vec{u}\|},\quad \cos\beta = \frac{u_y}{\|\vec{u}\|},\quad \cos\gamma = \frac{u_z}{\|\vec{u}\|}.
Substituindo os valores, obtemos
\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}},\quad \cos\beta = \frac{3}{\sqrt{26}},\quad \cos\gamma = \frac{4}{\sqrt{26}}.

Resposta

\left(-\frac{1}{\sqrt{26}},\,\frac{3}{\sqrt{26}},\,\frac{4}{\sqrt{26}}\right).

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